Question

Остроугольный не равнобедренный треугольник ABC (AB > BC) вписан
в окружность ω. Биссектриса внешнего угла B пересекает окружность ω
вторично в точке M. Точка H — основание перпендикуляра из M на AB.
Известно, что BH = 1, CH = 16. Найдите AH

Answer 1

Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги окружности, равны.
Треугольники ВСН и АНМ подобны по двум равным углам.
Поэтому треугольник ВСН в точке Н имеет прямой угол.
ВС = √(16²+1²) = √(256+1) = √257.
Для треугольника АНМ примем коэффициент подобия к.
Сторона НМ = 1*к = к, сторона АН = 16к, сторона АМ = к√257.
По свойству биссектрисы внешнего угла треугольника АМ = СМ.
(Доказательство в приложении).
На этом основании составляем уравнение:
16+к = к√257.
Отсюда к = 16/(√257-1) ≈ 1,064451.
Ответ: АН = 16*к = 16²/(√257-1) ≈ 17,03122.