Question

В квадрате 130 на 130 закрашено несколько клеток. В каждой строчке есть либо 1, либо 7 закрашенных клеток, а в каждом столбце есть либо 3, либо 4 закрашенных клетки. Какое наименьшее число клеток может быть закрашено?

Answer 1

Если в каждом столбце по 3 закрашенных клетки, то всего 3*130=390 закрашенных клеток.
Если в каждом столбце по 4 закрашенных клетки, то всего 4*130=520 закрашенных клеток.
Значит, количество клеток 390 <= N <= 520.
Пусть будет a столбцов по 4 клетки и b столбцов по 3 клетки.
4a + 3b = N
a + b = 130; b = 130 - a
А по строкам пусть x строк по 7 клеток и y строк по 1 клетке.
7x + y = N
x + y = 130; y = 130 - x
Получаем такое уравнение с 2 неизвестными:
4a + 3(130 - a) = 7x + 130 - x = N --> min
4a + 390 - 3a = 6x + 130
a + 260 = 6x
Наименьшее решение:
x = 44, потому что 44*6 = 264 - наименьшее кратное 6, больше 260
Тогда а = 4, b = 130 - 4 = 126; y = 130 - 44 = 86.
N = 4a + 3b = 4*4 + 3*126 = 7x + y = 7*44 + 86 = 394
Закрашено всего 394 клетки, это 44 строки по 7 и 86 строк по 1 клетке, или 4 столбца по 4 и 126 столбцов по 3 клетки.