Так как каждый пункт рассматривается в качестве отдельной задачи, замечательные точки треугольника всегда будут называться O.
а) BM₂ точкой пересечения медиан делится в отношении BO : OM₂ = 2 : 1 ⇒
.
Так как AB = BC, BM₂ — высота. По теореме Пифагора
.
Тогда ![BO=\dfrac{2}{3}\cdot 12=8](https://tex.z-dn.net/?f=BO%3D%5Cdfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Ccdot%2012%3D8)
б) Точка пересечения биссектрис — центр вписанной окружности. Так как AB = BC, BB₂ — высота ⇒ OB₂ — радиус (r) вписанной окружности.
Площадь треугольника ABC
![S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BB_2\cdot AC=\dfrac{AB+BC+AC}{2}\cdot r\Rightarrowr=\dfrac{BB_2\cdot AC}{AB+BC+AC}=\\=\dfrac{12\cdot 18}{15+15+18}=4{,}5\Rightarrow BO=BB_2-OB_2=12-4{,}5=7{,}5](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7BABC%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%20BB_2%5Ccdot%20AC%3D%5Cdfrac%7BAB%2BBC%2BAC%7D%7B2%7D%5Ccdot%20r%5CRightarrowr%3D%5Cdfrac%7BBB_2%5Ccdot%20AC%7D%7BAB%2BBC%2BAC%7D%3D%5C%5C%3D%5Cdfrac%7B12%5Ccdot%2018%7D%7B15%2B15%2B18%7D%3D4%7B%2C%7D5%5CRightarrow%20BO%3DBB_2-OB_2%3D12-4%7B%2C%7D5%3D7%7B%2C%7D5)
в) Точка пересечения серединных перпендикуляров — центр описанной окружности ⇒ OB — радиус (R) описанной окружности. Площадь треугольника ABC
![S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BH_2=\dfrac{AB\cdot BC\cdot AC}{4R}\Rightarrow R=\dfrac{AB\cdot BC}{2BH_2}=\dfrac{15^2}{2\cdot 12}=9{,}375](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7BABC%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%20AC%5Ccdot%20BH_2%3D%5Cdfrac%7BAB%5Ccdot%20BC%5Ccdot%20AC%7D%7B4R%7D%5CRightarrow%20R%3D%5Cdfrac%7BAB%5Ccdot%20BC%7D%7B2BH_2%7D%3D%5Cdfrac%7B15%5E2%7D%7B2%5Ccdot%2012%7D%3D9%7B%2C%7D375)
г) Площадь треугольника ABC
![S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BH_2=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot AH_1\Leftrightarrow AH_1=\dfrac{AC\cdot BH_2}{BC}=\dfrac{18\cdot 12}{15}=\dfrac{72}{5}\\\cos{\angle{CAH_1}}=\dfrac{AH_1}{AC}=\dfrac{72}{5\cdot 18}=\dfrac{4}{5}\Rightarrow \sin{\angle{CAH_1}}=\dfrac{3}{5}\Rightarrow tg~\angle{CAH_1}=\\=\dfrac{\sin{\angle{CAH_1}}}{\cos{\angle{CAH_1}}}=\dfrac{3}{4}=\dfrac{OH_2}{AH_2}=\dfrac{OH_2}{9}\Rightarrow OH_2=\dfrac{9\cdot 3}{4}=6{,}75\Rightarrow BO=BH_2-\\-OH_2=12-6{,}75=5{,}25](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7BABC%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%20AC%5Ccdot%20BH_2%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%20BC%5Ccdot%20AH_1%5CLeftrightarrow%20AH_1%3D%5Cdfrac%7BAC%5Ccdot%20BH_2%7D%7BBC%7D%3D%5Cdfrac%7B18%5Ccdot%2012%7D%7B15%7D%3D%5Cdfrac%7B72%7D%7B5%7D%5C%5C%5Ccos%7B%5Cangle%7BCAH_1%7D%7D%3D%5Cdfrac%7BAH_1%7D%7BAC%7D%3D%5Cdfrac%7B72%7D%7B5%5Ccdot%2018%7D%3D%5Cdfrac%7B4%7D%7B5%7D%5CRightarrow%20%5Csin%7B%5Cangle%7BCAH_1%7D%7D%3D%5Cdfrac%7B3%7D%7B5%7D%5CRightarrow%20tg~%5Cangle%7BCAH_1%7D%3D%5C%5C%3D%5Cdfrac%7B%5Csin%7B%5Cangle%7BCAH_1%7D%7D%7D%7B%5Ccos%7B%5Cangle%7BCAH_1%7D%7D%7D%3D%5Cdfrac%7B3%7D%7B4%7D%3D%5Cdfrac%7BOH_2%7D%7BAH_2%7D%3D%5Cdfrac%7BOH_2%7D%7B9%7D%5CRightarrow%20OH_2%3D%5Cdfrac%7B9%5Ccdot%203%7D%7B4%7D%3D6%7B%2C%7D75%5CRightarrow%20BO%3DBH_2-%5C%5C-OH_2%3D12-6%7B%2C%7D75%3D5%7B%2C%7D25)
Ответ: а) 8; б) 7,5; в) 9,375; г) 5,25
61) да все пары будут равны так как из-за чисел местами ничего не меняется
а) 46 135
б) 2 926
в) 8 204
62)
1) 128*2*6 или 128*3*4 = 1536 397*7*4 = 11116
1249*6*9 = <span>67446</span> 27893*4*8 = 892576
2) нет, нельзя. числа не раскладываются
12 км = 12000 м
6 км 30 м = 6030 м
4км 109 м = 4109 м
_12000 _ 5970
6030 4109
------------ -----------
5970 1861
12000 - 6030 - 4109 = 1861 (м) = 1 км 861 м