Question

Составить Каноническое уравнение: а) эллипса; б) гиперболы; в)параболы (A, B - точки, Которые лежат на кривой, F - фокус, a - большая(Действительная) полуось,b - малая (мнимая) полуось,ε - эксцентриситет,y = ± kx - уравнения асимптот гиперболы,D - директриса кривой,2C - фокусноерасстояние).а)ε= 3/ 5, A(0,8); б)A( √6,0), B(-2√2,1); в)D: y = 9.

Answer 1

Ответ:

Каноническое уравнение:

 а) эллипса при его параметрах ε= 3/5, A(0;8).

Уравнение эллипса 

Координаты точки А лежат на оси Оу - это параметр в = 8.

Эксцентриситет эллипсa e характеризует его растяженность и определяется отношением фокального расстояния c к большой полуоси a. Для эллипсa эксцентриситет всегда будет 0 < e < 1.

е = с/а, отсюда с = е*а.

Но с² = а² + в². Заменим а² + в² = е²а², откуда получаем а = в/(√1-е²).

Находим значение а = 8/(√1-(3/5)²) = 8/(√16/25) = 8*5/4 = 10.

Ответ: уравнение эллипса 

б) гиперболы с двумя точками A( √6; 0), B(-2√2; 1).

Точка А даёт координаты вершины правой ветви.

Подставим координаты точки В в уравнение гиперболы 

8/6 - 1/b² = 1.

8b² - 6 - 6b² = 0.

2b² = 6.

b = +-√3.

Теперь составим уравнение гиперболы: 

в) параболы с уравнением директрисы Д: у = 9.

Положительный знак этого параметра говорит, что парабола имеет ветви вниз. Её уравнение х² = -2ру.

Уравнение директрисы у = р/2, отсюда р = 2у = 2*9 = 18.

Тогда уравнение параболы х² = -2*18*у.