Question

Найдите все целые числа n, для которых сумма 1!+2!+3!+…+n! является полным квадратом

Answer 1

Рассмотрим полный квадрат $x^2$ и найдем его остаток от деления на 5:

$r = x^2\mod5=(x\cdot x)\mod5=((x\mod5)(x\mod5))\mod5$

$s = x\mod5$ может быть равно 0, 1, 2, 3, 4
если s = 0, то r = 0
если s = 1, то r = 1
если s = 2, то r = 4
если s = 3, то r = 9 mod 5 = 4
если s = 4, то r = 16 mod 5 = 1

видим, что полный квадрат может давать в остатке от деления на 5 только 0, 1 и 4. Но 1!+2!+3! +4! = 33 дает в остатке от деления на 5 тройку, а значит и все последующие суммы тоже, следовательно не могут являться полными квадратами. Из допустимых остается только: 1!=1  и 1! + 2! + 3!=9

ответ 1 и 3