Question

Решите уравнение y''+y=0

Answer 1

y(x)+(d2/dx2)y(x)=0 
Это дифф. уравнение имеет вид:
y'' + p*y' + q*y = 0,
где
p=0
q=1
Называется линейным неоднородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние
y'' + p*y' + q*y = 0
Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
q+k^2+k*p=0
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
k^2+1=0
- это простое квадратное ур-ние
Корни этого ур-ния:
k1=−i
k2=i
Т.к. характ. ур-ние имеет два корня,
и корни имеют чисто мнимый вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:

y(x)=C1sin(x|k1|)+C2cos(x|k2|)
Получаем окончательный ответ:
y(x)=C1sin(x)+C2cos(x)