Question

На оси OZ найти точку, равноудаленную от точки А (2; 3; 4) и от плоскости, проходящей через точку B (1; 5; 0) параллельно плоскости 2x+3y+z+15=0

Answer 1

Находим уравнение  плоскости, проходящей через точку B (1; 5; 0) параллельно плоскости  2x + 3y + z + 15 = 0.

2(x - 1) + 3(y - 5) +1(z - 0) = 2x - 2 + 3y - 15 + z =  2x + 3y + z - 17.

Теперь примем точку M на оси Оz с координатами (0; 0; z) и определяем расстояния от неё до новой плоскости (2x + 3y + z - 17) и точки А (2; 3; 4).

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0  используем формулу:

d =   |A·Mx + B·My + C·Mz + D| /√(A² + B² + C²).  

Так как Мх и Му равны 0, а модуль нормали плоскости равен √(4+9+1) = √14, то это расстояние можно выразить так:

d = (1*Mz - 17)/√14.

Теперь определим расстояние между точками А и М.

АМ = √((0 - 2)² + (0 - 3)² + (Мz - 4)²) = √(13 + (Мz - 4)²).

Приравняем эти расстояния:  (1*Mz - 17)/√14 = √(13 + (Мz - 4)²).

Возводим в квадрат обе части уравнения.

(Mz² - 34Mz + 289)/14 = 13 + Мz² - 8Mz + 16.

Получаем квадратное уравнение 13Мz² - 78Mz + 117 = 0.

Ищем дискриминант:

D=(-78)^2-4*13*117=6084-4*13*117=6084-52*117=6084-6084=0;  

Дискриминант равен 0, уравнение имеет 1 корень:

Mz = -(-78/(2*13)) = -(-78/26) = -(-3) = 3.

Ответ: точка имеет координаты (0; 0; 3).