Проведем к основанию
![AC](https://tex.z-dn.net/?f=AC)
равнобедренного треугольника
![\triangle ABC](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctriangle+ABC)
медиану
![BM](https://tex.z-dn.net/?f=BM)
(так как она медиана, то проходит из вершины
![B](https://tex.z-dn.net/?f=B)
в серидину
![AC](https://tex.z-dn.net/?f=AC)
и делит
![AC](https://tex.z-dn.net/?f=AC)
пополам). Существует свойство, что медиана равнобедренного треугольника (а
![\triangle ABC](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctriangle+ABC)
по условию равнобедренный), проведенная к основанию также является и высотой. Отсюда
![\angle AMB = 90^{\circ}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cangle+AMB+%3D+90%5E%7B%5Ccirc%7D)
.
Рассмотрим теперь
![\triangle AMB](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctriangle+AMB)
, он прямоугольный, как мы только что выяснили, один из его катетов нам известен —
![AM = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5](https://tex.z-dn.net/?f=AM+%3D+%5Cfrac%7BAC%7D%7B2%7D+%3D+%5Cfrac%7B10%7D%7B2%7D+%3D+5)
.
Найдем второй катет по теореме Пифагора:
![BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{144}=12](https://tex.z-dn.net/?f=BM+%3D+%5Csqrt%7BAB%5E2+-+AM%5E2%7D+%3D+%5Csqrt%7B13%5E2+-+5%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B144%7D%3D12)
Отлично. Теперь найдем
![sin \angle A](https://tex.z-dn.net/?f=sin+%5Cangle+A)
, это очень пригодится нам в дальнейшем. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В нашем случае противолежащий углу
![\angle A](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cangle+A)
катет —
![BM](https://tex.z-dn.net/?f=BM)
, а гипотенуза —
![AB](https://tex.z-dn.net/?f=AB)
. Тогда
![sin \angle A](https://tex.z-dn.net/?f=sin+%5Cangle+A)
найдем как:
![\sin \angle A = \frac{BM}{AB} = \frac{12}{13}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csin+%5Cangle+A+%3D+%5Cfrac%7BBM%7D%7BAB%7D+%3D+%5Cfrac%7B12%7D%7B13%7D)
.
Отлично! Все построения, описанные до этого момента вы можете увидеть на первом рисунке (он приложен к ответу, его можно найти в самом низу).
==========
Теперь построим ту ситуацию, которая описана в задаче. Увидеть эти построения вы можете на втором рисунке.
Рассмотрим
![\triangle AHC](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctriangle+AHC)
. Он прямоугольный, так как
![AH](https://tex.z-dn.net/?f=AH)
— высота по условию. Известна гипотенуза
![AC](https://tex.z-dn.net/?f=AC)
, необходимо найти катет
![AH](https://tex.z-dn.net/?f=AH)
.
Вот здесь нам и понадобится
![sin \angle A](https://tex.z-dn.net/?f=sin+%5Cangle+A)
. Напомню, что
![\triangle ABC](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctriangle+ABC)
— равнобедренный, а значит углы при основании равны (
![\angle A = \angle C](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cangle+A+%3D+%5Cangle+C)
), а значит и их синусы тоже равны! То есть
![\sin \angle C = \sin \angle A = \frac{12}{13}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csin+%5Cangle+C+%3D+%5Csin+%5Cangle+A+%3D+%5Cfrac%7B12%7D%7B13%7D)
. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В
![\triangle AHC](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctriangle+AHC)
противолежащий углу
![\angle C](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cangle+C)
катет —
![AH](https://tex.z-dn.net/?f=AH)
, а гипотенуза
![AC](https://tex.z-dn.net/?f=AC)
. Отсюда:
![\sin \angle C = \frac{AH}{AC}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csin+%5Cangle+C+%3D+%5Cfrac%7BAH%7D%7BAC%7D)
Также нам известно, что
![\sin \angle C = \frac{12}{13}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csin+%5Cangle+C+%3D+%5Cfrac%7B12%7D%7B13%7D)
Отсюда:
![\frac{12}{13} = \frac{AH}{AC}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B12%7D%7B13%7D+%3D+%5Cfrac%7BAH%7D%7BAC%7D)
Отсюда выразим искомый катет
![AH](https://tex.z-dn.net/?f=AH)
:
![AH = \frac{12}{13}*AC](https://tex.z-dn.net/?f=AH+%3D+%5Cfrac%7B12%7D%7B13%7D%2AAC)
![AC = 10 \\ AH = \frac{120}{13} \approx 9.23](https://tex.z-dn.net/?f=AC+%3D+10+%5C%5C+%0AAH+%3D+%5Cfrac%7B120%7D%7B13%7D+%5Capprox+9.23+)
Это ответ.