Вы же понимаете, что сферы, как таковой, не получится. Плоский картон нельзя превратить в выпуклую фигуру. Шар будет не с округлой поверхностью, а сегментарной.
Так что шаром (сегментированным), в некотором смысле, может считаться любой многогранник, начиная с правильных, скажем, тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
Если вам не подходит ни один, то самым перспективным для дальнейшего приближения к поверхности шара будет додекаэдр, состоящий из пятиугольников.
Т.у. мы переходим к геодезической сфере. Чем больше граней, тем ближе форма к форме шара, но тем больше трудоемкость и расход материала.
Здесь имеетка калькулятор для расчета геодезических сфер
Тут и размеры ребер, способы крепления, но что важнее для вас - приведен расчет граней - треугольников или многоугольников для различных типов и степеней с площадью поверхности. Полной развертки нет, так как это строительная методика, не для конструирования из листа бумаги, так что точно по бумаге расчет будет сделать проблематично.
Не забываете, что для треугольники можно склеить стык в стык(будет экономия материала, но потеря прочности), а можно склеивать треугольники вырезанные с запасов за счет перегибов на гранях с другими гранями или перегибами, которые превратятся при склеивании в жесткие ребра. Проверял сам, расчеты правильные, если не запутаетесь в гранях и ребрах. рекомендую именовать каждую грань и каждое ребро на картоне, потом стереть или закрасить.