1) Найдем нули функции:
![\frac{1}{2} sin( \frac{ \pi }{6} -4x)=0 \\ \\ sin( \frac{ \pi }{6} -4x)=0 \\ \\ \frac{ \pi }{6} -4x= \pi n \\ \\ -4x=- \frac{ \pi }{6} + \pi n \\ \\ x= \frac{ \pi }{24} - \frac{ \pi n}{4} =\frac{ \pi }{24} +\frac{ \pi n}{4} , \ n\in Z](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20sin%28%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20-4x%29%3D0%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20sin%28%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20-4x%29%3D0%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20-4x%3D%20%20%5Cpi%20n%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20-4x%3D-%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20%2B%20%5Cpi%20n%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20x%3D%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B24%7D%20-%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20n%7D%7B4%7D%20%3D%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B24%7D%20%2B%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20n%7D%7B4%7D%20%2C%20%20%5C%20n%5Cin%20Z)
2) Найдем про<span>межутки знакопостоянства методом интервалов.
Синус имеет бесконечное множество корней, значит для интервала возьмем хотя бы 4 из них, при n равном, например, -1; 0; 1; 2
</span>
![n=-1; \ \ x=\frac{ \pi }{24} -\frac{ \pi }{4}= -\frac{5 \pi }{24} \\ \\ n=0; \ \ x=\frac{ \pi }{24} \\ \\ n=1; \ \ x=\frac{ \pi }{24} +\frac{ \pi }{4}= \frac{7 \pi }{24} \\ \\ n=2; \ \ x=\frac{ \pi }{24} +\frac{2 \pi }{4}= \frac{13 \pi }{24}](https://tex.z-dn.net/?f=n%3D-1%3B%20%5C%20%20%5C%20x%3D%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B24%7D%20-%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B4%7D%3D%20-%5Cfrac%7B5%20%5Cpi%20%7D%7B24%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20n%3D0%3B%20%5C%20%5C%20x%3D%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B24%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20n%3D1%3B%20%5C%20%5C%20x%3D%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B24%7D%20%2B%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B4%7D%3D%20%5Cfrac%7B7%20%5Cpi%20%7D%7B24%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20n%3D2%3B%20%5C%20%5C%20x%3D%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B24%7D%20%2B%5Cfrac%7B2%20%5Cpi%20%7D%7B4%7D%3D%20%5Cfrac%7B13%20%5Cpi%20%7D%7B24%7D%20)
<span>
Теперь берем пробную точку, чтобы узнать знак интервала. Очевидно что в промежутке от (-5</span>π/24;π/24) можно взять нуль.
Подставляем в исходную функцию:
![f(x)=\frac{1}{2} sin( \frac{ \pi }{6} -4x) \\ \\ f (0)= \frac{1}{2} sin( \frac{ \pi }{6} -4*0)= \frac{1}{2} sin\frac{ \pi }{6}= \frac{1}{2} *\frac{1}{2} =\frac{1}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=%20f%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20sin%28%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20-4x%29%20%5C%5C%20%5C%5C%20f%20%280%29%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20sin%28%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20-4%2A0%29%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20sin%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B6%7D%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%2A%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20)
Следовательно f(0)>0
расставляем знаки:
![---(- \frac{5 \pi }{24} )+++( \frac{ \pi }{24} )---( \frac{7 \pi }{24} )+++( \frac{13 \pi }{24} )---\ \textgreater \ x](https://tex.z-dn.net/?f=---%28-%20%5Cfrac%7B5%20%5Cpi%20%7D%7B24%7D%20%29%2B%2B%2B%28%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B24%7D%20%29---%28%20%5Cfrac%7B7%20%5Cpi%20%7D%7B24%7D%20%29%2B%2B%2B%28%20%5Cfrac%7B13%20%5Cpi%20%7D%7B24%7D%20%29---%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%20x)
на этих интервалах положительное значение функции начинается с х=-5π/24 или с х=7π/24
то есть из точки -5π/24 попадаем в точку 7π/24 через период :
![\frac{ 7 \pi }{24}-(- \frac{5 \pi }{24}) = \frac{ 7 \pi }{24}+ \frac{5 \pi }{24} = \frac{12 \pi }{24} = \frac{ \pi }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%207%20%5Cpi%20%7D%7B24%7D-%28-%20%5Cfrac%7B5%20%5Cpi%20%7D%7B24%7D%29%20%3D%20%5Cfrac%7B%207%20%5Cpi%20%7D%7B24%7D%2B%20%5Cfrac%7B5%20%5Cpi%20%7D%7B24%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B12%20%5Cpi%20%7D%7B24%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20)
Таким образом:
![f(x)\ \textgreater \ 0,\ \pi pu \ x\in (- \frac{5 \pi }{24}+ \frac{ \pi }{2} n;\ \frac{ \pi }{24} +\frac{ \pi }{2} n) \\ \\ f(x)\ \textless \ 0,\ \pi pu \ \ x \in (\frac{ \pi }{24}+ \frac{ \pi }{2} n;\ \frac{ 7\pi }{24} +\frac{ \pi }{2} n) , \ n\in Z](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%200%2C%5C%20%5Cpi%20pu%20%5C%20x%5Cin%20%28-%20%5Cfrac%7B5%20%5Cpi%20%7D%7B24%7D%2B%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20n%3B%5C%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B24%7D%20%2B%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20n%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20f%28x%29%5C%20%5Ctextless%20%5C%200%2C%5C%20%20%20%5Cpi%20pu%20%5C%20%5C%20x%20%5Cin%20%28%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B24%7D%2B%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20n%3B%5C%20%20%5Cfrac%7B%207%5Cpi%20%7D%7B24%7D%20%2B%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20n%29%20%2C%20%5C%20n%5Cin%20Z)
3) Найдем промежутки возрастания и убывания функции:
для этого найдем производную функции, найдем нули этой производной и также воспользуемся методом интервалов.
Там где производная будет больше нуля - исходная функция будет возрастать, где меньше нуля - убывать.
![f'(x)=(\frac{1}{2} sin( \frac{ \pi }{6} -4x))'=\frac{1}{2}cos( \frac{ \pi }{6} -4x)*(-4)=-2cos( \frac{ \pi }{6} -4x) \\ \\ -2cos( \frac{ \pi }{6} -4x) =0 \\ \\ cos( \frac{ \pi }{6} -4x) =0 \\ \\ \frac{ \pi }{6} -4x= \frac{ \pi }{2} + \pi n \\ \\ -4x= \frac{ \pi }{3} + \pi n \\ \\ x=- \frac{ \pi }{12} - \frac{ \pi n}{4} =- \frac{ \pi }{12} + \frac{ \pi n}{4} \\ \\ \\ \\ n=0, \ \ x=- \frac{ \pi }{12} \\ \\ n=1, \ \ x=- \frac{ \pi }{12} + \frac{ \pi }{4} =\frac{ \pi }{6} \\ \\](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3D%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20sin%28%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20-4x%29%29%27%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dcos%28%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20-4x%29%2A%28-4%29%3D-2cos%28%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20-4x%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20-2cos%28%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20-4x%29%20%3D0%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20cos%28%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20-4x%29%20%3D0%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20-4x%3D%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%2B%20%5Cpi%20n%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20-4x%3D%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B3%7D%20%2B%20%5Cpi%20n%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20x%3D-%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B12%7D%20-%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20n%7D%7B4%7D%20%3D-%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B12%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20n%7D%7B4%7D%20%20%5C%5C%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%20%5C%5C%20n%3D0%2C%20%5C%20%5C%20x%3D-%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B12%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20n%3D1%2C%20%5C%20%20%5C%20x%3D-%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B12%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B4%7D%20%3D%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20)
![n=2, \ \ x=- \frac{ \pi }{12} + \frac{2 \pi }{4} =\frac{ 5\pi }{12} \\ \\ n=3,\ \ x=- \frac{ \pi }{12} + \frac{3 \pi }{4} =\frac{ 2\pi }{3} \\ \\ \\](https://tex.z-dn.net/?f=n%3D2%2C%20%5C%20%5C%20x%3D-%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B12%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B2%20%5Cpi%20%7D%7B4%7D%20%3D%5Cfrac%7B%205%5Cpi%20%7D%7B12%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20n%3D3%2C%5C%20%5C%20x%3D-%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B12%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B3%20%5Cpi%20%7D%7B4%7D%20%3D%5Cfrac%7B%202%5Cpi%20%7D%7B3%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20)
Берем пробную точку 0 в промежутке (-π/12; π/6)
![f'(x)=-2cos( \frac{ \pi }{6}-4x ) \\ \\ f'(0)=-2cos \frac{ \pi }{6} =-2* \frac{ \sqrt{3} }{2} =- \sqrt{3} \\ \\ f'(0)\ \textless \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3D-2cos%28%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B6%7D-4x%20%29%20%5C%5C%20%5C%5C%20%20f%27%280%29%3D-2cos%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20%3D-2%2A%20%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B2%7D%20%3D-%20%5Csqrt%7B3%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20f%27%280%29%5C%20%5Ctextless%20%5C%200)
Следовательно
![+++[- \frac{ \pi }{12} ]---[ \frac{ \pi }{6} ]+++ [\frac{5 \pi }{12} ]---[ \frac{2 \pi }{3} ]+++\ \textgreater \ x](https://tex.z-dn.net/?f=%2B%2B%2B%5B-%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B12%7D%20%5D---%5B%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20%5D%2B%2B%2B%20%5B%5Cfrac%7B5%20%5Cpi%20%7D%7B12%7D%20%5D---%5B%20%5Cfrac%7B2%20%5Cpi%20%7D%7B3%7D%20%5D%2B%2B%2B%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%20x)
![\frac{5 \pi }{12} -(- \frac{ \pi }{12} )= \frac{5 \pi }{12} +\frac{ \pi }{12}= \frac{ \pi }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B5%20%5Cpi%20%7D%7B12%7D%20-%28-%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B12%7D%20%29%3D%20%5Cfrac%7B5%20%5Cpi%20%7D%7B12%7D%20%2B%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B12%7D%3D%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20)
значит период повтора монотонности (убывания, возрастания) функции будет:
![\frac{ \pi }{2} n](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20n)
Таким образом:
Функция возрастает на промежутках:
![[ \frac{ \pi }{6} + \frac{ \pi }{2} n; \ \frac{5 \pi }{12}+ \frac{ \pi }{2} n]](https://tex.z-dn.net/?f=%5B%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20n%3B%20%5C%20%20%5Cfrac%7B5%20%5Cpi%20%7D%7B12%7D%2B%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20n%5D%20)
Убывает на:
![[ -\frac{ \pi }{12} + \frac{ \pi }{2} n; \ \frac{ \pi }{6}+ \frac{ \pi }{2} n] ,\ n \in Z](https://tex.z-dn.net/?f=%5B%20-%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B12%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20n%3B%20%5C%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B6%7D%2B%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20n%5D%20%2C%5C%20n%20%5Cin%20Z)