Тут разница видна уже в образовании самих слов.
Слово убежище означает убежать от чего-то куда-то.
Слово прибежище означает прибежать куда-то.
То есть, в одном случае мы спасаемся, бежим от какой-то опасности.
Убежище, укрытие - то, где можно спастись от опасности или гибели.
Прибежище, приют, пристанище - это место, где тебя как бы принимают для проживания (временно), но тут уже не угроза жизни является двигателем, а просто стечение обстоятельств.
Убежища обычно имеют средства для отражения или сдерживания противника, либо имеющие средства маскировки. Прибежище это просто место, давшее вам возможность перевести дух, собраться с силами, чтобы двигаться дальше, и, как правило, никакой маскировки в них не предусмотрено.