Question

Помогите доказать, срочно!!! 1!+2∙2!+⋯+n∙n!=(n+1)!-1, ∀ n ∈N

Answer 1

Для n=1 равенство верно (1*1!=(1+1)!-1). Докажем, что если равенство верно для какого то натурального n=k, то оно верно и для n=k+1.
Для k+1 равенство выглядит так:
1!+2*2!+...+k*k!+(k+1)(k+1)!=(k+2)!-1
1!+2*2!+...+k*k!=(k+1)!-1 по предположению, значит равенство можно записать так:
(k+1)!-1+(k+1)(k+1)!=(k+2)!-1
(k+1)!(1+k+1)-1=(k+2)!-1
(k+1)!(k+2)-1=(k+2)!-1
(k+2)!-1=(k+2)!-1
Мы доказали, что если равенство верно для какого то натурального n, то оно верно и для следующего натурального числа. А в начале мы убедились, что равенство верно для n=1. Смекаешь к чему дело идет? Раз это равенство верно для единицы, то по доказаному оно верно и для двойки, а раз верно для двойки , то верно и для тройки, для тройки - для четверки и так до бесконечности. А значит равенство верно для любого натурального n, что и требовалось доказать. Этот метод доказательства называется математической индукцией.