Заметим, что каждая дробь представима в виде:
![\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \cdot ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} )](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%28n%2B2%29%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Ccdot+%28+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%2B2%7D+%29)
Тогда заменим дроби соответсвующими суммами:
![\frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 5} + \frac{1}{5\cdot 7} +...+ \frac{1}{2011\cdot 2013} + \frac{1}{2013\cdot 2015} =\\\\=\frac{1}{2}\cdot ( (\frac{1}{1} - \frac{1}{3} )+ (\frac{1}{3} - \frac{1}{5} )+( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} )+...+( \frac{1}{2011} - \frac{1}{2013} )+](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7B1%5Ccdot+3%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%5Ccdot+5%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B5%5Ccdot+7%7D+%2B...%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2011%5Ccdot+2013%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2013%5Ccdot+2015%7D+%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot+%28+%28%5Cfrac%7B1%7D%7B1%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%29%2B+%28%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D+%29%2B%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B7%7D+%29%2B...%2B%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B2011%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B2013%7D+%29%2B)
![+( \frac{1}{2013} - \frac{1}{2015} ))=\frac{1}{2}\cdot (1-\frac{1}{2015})=\frac{1}{2}\cdot \frac{2014}{2015}= \frac{1007}{2015}](https://tex.z-dn.net/?f=%2B%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B2013%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B2015%7D+%29%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot+%281-%5Cfrac%7B1%7D%7B2015%7D%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot+%5Cfrac%7B2014%7D%7B2015%7D%3D+%5Cfrac%7B1007%7D%7B2015%7D+)
На самом деле это решается с помощью констант, которые вы можете найти в таблице Брадиса
Основные значения этой таблицы нужно заучить. На пример sin 60° =
![\frac{ \sqrt{3} }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B3%7D+%7D%7B2%7D+)
От этого и отталкиваемся. Получается, что 0,5х = 60
тогда х = 120
Ответ: 120
Удачи ^_^
А)(√8-3)*(3+2√2)=3√8-9+2√8*√2-6√2=3√8-6√2+2√16-9=3√2*4 -6√2 +2√4*4-9=
=6√2-6√2+4√4-9=4*2-9=8-9=-1
б)(√50+4√2)*√2=√50*√2+4√2*√2=(√50*2)+4*2=(√100)+8=10+8=18
в)(5√3+√27)\√3=5√3\√3 +√27\√3=5+√(27\3)=5+√9=5+3=8
г) (√3-1)²+(√3+1)²=(√3)²-2√3+1+(√3)²+2√3+1=3+2+3=8
<span>31, 29, 27 ....</span>
a1 = 31
d = a2 - a1 = <span> 29 - </span><span>31 = -2
Прогрессия убывающая.
</span>Для того чтобы ответить на вопрос задачи (Сколько положительных членов имеет арифметическая прогрессия), найдем первый отрицательный член прогрессии.
Его номер обозначим через m
аm = a1 + (m - 1)d
аm = 31 + (m - 1)*(-2)
Т.к. этот член отрицательный, то аm < 0 =>
31 + (m - 1)*(-2)< 0
31 - 2m + 2 < 0
- 2m + 33 < 0
- 2m < - 33 | : (-2)
m > 16,5
Итак, номер первого отрицательного члена прогрессии > 16,5, т.е. 17.
И он равен а17 = a1 + (17 - 1)d = 31 + (17 - 1)*(-2) = 31 - 32 = -1
Значит предыдущие 16 членов положительны или = 0. Причем нулю может быть равен только член с номером 16. Вычислим а16 :
а16 = a17 - d = -1 - (-2) = -1 + 2 = 1 > 0
Ответ: арифметическая прогрессия имеет 16 положительных членов.