Квадратное уравнение имеет два корня тогда и только тогда, когда его дискриминант положителен, и один корень тогда и только тогда, когда он равен нулю.
![x^4 + ax^2 + a - 1 = 0 \Leftrightarrow [x^2 = t] \\ \Leftrightarrow t^2+at+a-1 = 0.](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E4+%2B+ax%5E2+%2B+a+-+1+%3D+0+%5CLeftrightarrow+%5Bx%5E2+%3D+t%5D+%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow+t%5E2%2Bat%2Ba-1+%3D+0.)
Воспользуемся этим знанием. У нашего уравнения два корня тогда и только тогда, когда у нового (после замены) ровно один положительный корень, а второй либо отрицательный, либо совпадает с первым. Давайте теперь это запишем.
Коэффициенты квадратного уравнения:
![A = 1, \ B = a, \ C = a-1. \\ D = B^2-4AC = a^2 - 4(a-1) = a^2 -4a + 4 = (a+2)^2.](https://tex.z-dn.net/?f=A+%3D+1%2C+%5C+B+%3D+a%2C+%5C+C+%3D+a-1.+%5C%5C%0AD+%3D+B%5E2-4AC+%3D+a%5E2+-+4%28a-1%29+%3D+a%5E2+-4a+%2B+4+%3D+%28a%2B2%29%5E2.)
Сразу видим, что он неотрицателен, но нам потребуется ещё и явно выписать корни.
![t_{1,2} = \frac{-B \pm\sqrt{D}}{2A} = \frac{-a \pm|a+2|}{2},](https://tex.z-dn.net/?f=t_%7B1%2C2%7D+%3D+%5Cfrac%7B-B+%5Cpm%5Csqrt%7BD%7D%7D%7B2A%7D+%3D+%5Cfrac%7B-a+%5Cpm%7Ca%2B2%7C%7D%7B2%7D%2C)
Так как стоит плюс-минус, то модуль можно просто убрать, неважно, как он раскрывается
![t_{1,2} = \frac{-a \pm (a+2)}{2} = 1, a-1.](https://tex.z-dn.net/?f=t_%7B1%2C2%7D+%3D+%5Cfrac%7B-a+%5Cpm+%28a%2B2%29%7D%7B2%7D+%3D+1%2C+a-1.)
Здесь мы видим, что всегда есть один положительный корень, и нам нужно требовать, чтобы второй был отрицателен:
![a-1 \ \textless \ 0 \Rightarrow a\ \textless \ 1.](https://tex.z-dn.net/?f=a-1+%5C+%5Ctextless+%5C+0+%5CRightarrow+a%5C+%5Ctextless+%5C+1.)
При таких а наше уравнение будет иметь ровно два корня, и мы их даже нашли, что было необязательно.
Ответ:
![a\ \textless \ 1](https://tex.z-dn.net/?f=a%5C+%5Ctextless+%5C+1)
Получится 2
у=3\2х1-1х(-2)=2
будет два
1,2х-0,2=1,5х+ 0,2 х + 0,2
1,2 х -0,2х-1,5х=0,2+0,2
-0,5х=0,4
х= 0,4: (-0,5)
х=-0,8
6) Составляем систему уравнений
![\left \{ {{xy=51} \atop {2x+2y=40}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bxy%3D51%7D%20%5Catop%20%7B2x%2B2y%3D40%7D%7D%20%5Cright.)
Отсюда
![\left \{ {{x=20-y} \atop {y(20-y)=51}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bx%3D20-y%7D%20%5Catop%20%7By%2820-y%29%3D51%7D%7D%20%5Cright.)
Выносим второе уравнение и решаем, после раскрытия скобок через дискриминант. В итоге получаем корни y1=3, y2=17
Можем подставить значения y в первое уравнения, значения x получатся соостветственные. Тоесть стороны прямоугольника равны 3 и 17 см.
2) Составляем уравнение. Пусть ширина - x. Тогда длина - x+6
x(x+6)=40
<span>
+6x-40=0</span>
<span>x1=10</span>
<span>x2=4</span>
<span>Стороны равны 10 и 4 сантиметрам.</span>