Question

Верно ли я решаю? Если нет, то как решать? Если да, то почему?

Answer 1

$\frac{1}{x^2+8x-9} \geq \frac{1}{3x^2-5x+2}$

Разложим знаменатели на множители, для этого найдем корни уравнений (через дискриминант или по теореме Виета):

$1) \ x^2+8x-9=0 \\ x_1=-9; \ x_2=1 \\ \\ x^2+8x-9=(x+9)(x-1)\\ \\ 2) \ 3x^2-5x+2=0 \\ x_1=1; \ x_2=\frac{2}{3} \\ \\ 3x^2-5x+2=3(x-1)(x-\frac{2}{3} )=(x-1)(3x-2)$

Возвращаемся к исходному неравенству: переносим всё в левую часть и приводим к общему знаменателю:

$\frac{1}{x^2+8x-9} \geq \frac{1}{3x^2-5x+2} \\ \\ \frac{1}{x^2+8x-9}-\frac{1}{3x^2-5x+2} \geq 0\\ \\ \frac{1}{(x-1)(x+9)} -\frac{1}{(3x-2)(x-1)} \geq 0\\ \\ \frac{3x-2-(x+9)}{(x-1)(x+9)(3x-2)} \geq 0\\ \\ \frac{3x-2-x-9}{(x-1)(x+9)(3x-2)} \geq 0\\ \\ \frac{2x-11}{(x-1)(x+9)(3x-2)} \geq 0$

Корень числителя:

$2x-11=0 \\ x=\frac{11}{2}=5.5$

Корни знаменателя:

$x=1 \\x=-9 \\ x=\frac{2}{3}$

Пользуясь методом интервалов, находим решение неравенства:

с помощью пробной точки определяем знаки промежутков.

Корень числителя - "закрашенная" точка, так как неравенство нестрогое.

Корни знаменателя - "выколотые" точки, так как знаменатель не может равняться нулю!

Получаем:

$+++(-9)---(\frac{2}{3} )+++(1)---[\frac{11}{2}] +++>_x \\ \\ OTBET: \ x \in (-\infty; -9) \ \cup \ (\frac{2}{3};1) \ \cup \ [\frac{11}{2} ; +\infty)$