Question

Как доказать, что 1/a +1/b +1/c больше либо равно чем 1/корень ab +1/корень bc +1/корень ac

Answer 1

Автор забыл написать, что a, b и c >0. Для простоты обозначим $\frac{1}{a}=x^2;\ \frac{1}{b}=y^2;\ \frac{1}{c}=z^2.$


Тогда нужно доказать, что  
$x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx,$ что равносильно

$2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx \geq 0$, что в свою очередь равносильно

$(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \geq 0.$ А это очевидно.

Замечание. При доказательстве можно было воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим неотрицательных чисел. Но мы обошлись "домашними методами".