Question

При нагревании некоторого газа наиболее вероятная скорость
его молекул увеличилась от 400 до 800 м/с. Найти числовое значение
скорости молекул, количество которых не изменилось при нагревании.
Ответ: 665 м/с.

Answer 1

Наиболее вероятная скорость по Максвеллу выражается, как:

$v_p = \sqrt{ \frac{2RT}{ \mu } } \ ;$

$\frac{ \mu }{2RT} = 1/v_p^2 \ ;$

А сама плотность распределения Максвелла гласит, что:

$f(v) = \frac{ 4 v^2 }{ \sqrt{ \pi } } ( \frac{ \mu }{ 2RT } )^{3/2} \exp{ \frac{ - \mu v^2 }{2RT} } = \frac{ 4 v^2 }{ \sqrt{ \pi } \cdot v_p^3 } \exp{ \frac{ -v^2 }{ v_p^2 } } \ ;$

Найдём равные плотности вероятности до и после нагревания:

$\frac{ 4 v^2 }{ \sqrt{ \pi } \cdot v_{p1}^3 } \exp{ \frac{ -v^2 }{ v_{p1}^2 } } = \frac{ 4 v^2 }{ \sqrt{ \pi } \cdot v_{p2}^3 } \exp{ \frac{ -v^2 }{ v_{p2}^2 } } \ ;$

$v_{p1}^3 \exp{ \frac{ v^2 }{ v_{p1}^2 } } = v_{p2}^3 \exp{ \frac{ v^2 }{ v_{p2}^2 } } \ ;$

$\exp{ \frac{ v^2 }{ v_{p1}^2 } } = ( \frac{ v_{p2} }{ v_{p1} } )^3 \exp{ \frac{ v^2 }{ v_{p2}^2 } } \ ;$

$\ln{ \exp{ \frac{ v^2 }{ v_{p1}^2 } } } = 3 \ln{ \frac{ v_{p2} }{ v_{p1} } } + \ln{ \exp{ \frac{ v^2 }{ v_{p2}^2 } } } \ ;$

$\frac{ v^2 }{ v_{p1}^2 } = 3 \ln{ \frac{ v_{p2} }{ v_{p1} } } + \frac{ v^2 }{ v_{p2}^2 } \ ;$

$\frac{ v^2 }{ v_{p1}^2 } - \frac{ v^2 }{ v_{p2}^2 } = 3 \ln{ \frac{ v_{p2} }{ v_{p1} } } \ ;$

$v^2 ( \frac{1}{ v_{p1}^2 } - \frac{1}{ v_{p2}^2 } ) = 3 \ln{ \frac{ v_{p2} }{ v_{p1} } } \ ;$

$v^2 = \frac{ 3 \ln{ | v_{p2}/v_{p1} | } }{ 1/v_{p1}^2 - 1/v_{p2}^2 } \ ;$

$v = \sqrt{ \frac{ 3 \ln{ | v_{p2}/v_{p1} | } }{ 1/v_{p1}^2 - 1/v_{p2}^2 } } \approx \sqrt{ \frac{ 3 \ln{ | 800/400 | } }{ 1/400^2 - 1/800^2 } } \approx 800 \sqrt{ \ln{2} } \approx 666$    м/с .