Произведём замену в уравнении. Пусть
. Тогда
, и уравнение принимает вид:
Поскольку логарифм принимает любые значения, то t также принимает любые значения. Ограничений на неё нет. Помимо этого, для каждого t из замены найдётся ровно один x, поэтому для выполнения условия задачи необходимо потребовать, чтобы полученное уравнение относительно t также имело ровно 4 решения.
Итак, решаем нашу новую задачу. Для начала замечу, что в правой части стоит квадрат, а
. Следовательно, чтобы уравнение вообще имело какие-нибудь корни(не обязательно 4), необходимо, чтобы и левая часть была неотрицательной, то есть,
, откуда
Решим это неравенство. Для этого(в силу неотрицательности обеих его частей(поскольку модуль - величина неотрицателньая)), возведём обе части в квадрат, далее используя формулы разности квадратов.
При этом возникают такие случаи:
1)Если
, то, подставляя в наше неравенство, получим, что
. Это, разумеется, верно. Поэтому при а = 0 уравнение относительно t МОЖЕТ ИМЕТЬ корни(а может и не иметь, или иметь, но не 4). Поэтому этого кандидата мы сейчас простестируем, подставив его уже в уравнение. Если мы получим ровно 4 корня, то всё хорошо, в ответ это значение параметра войдёт, иначе нам придётся убрать его. Подставляем:
или
, откуда
или
.
В любом случае, корней всего 3, а надо 4. Поэтому a = 0 условию задачи не удовлетворяет.
2)Пусть
. Тогда возвращаемся к нашему неравенству, с которого всё и началось. Если a > 0, то, очевидно,
. Наносим эти нули на координатную ось в порядке возрастания и записываем с помощью метода интервалов ответ:
t ∈
∞,
∪
∞)
Берём первый кусок , то есть, пусть
. Тогда тем более
, то есть,
. Для второго модуля нулём является точка t = -2a. Из неравенства
, вообще говоря, нельзя ничего сказать о втором модуле в уравнении, поскольку
для нашего случая a > 0, и модуль может раскрыться хоть со знаком +, хоть со знаком -. Поэтому в этом случае уравнение принимает вид:
Теперь будем раскрывать модуль.
а)Если
, то
и уравнение упрощается
Совмещая интервал раскрытия модулей с рассматриваемым интервалом для t, приходим к системе
б)Соответственно, при
, модуль раскрывается с противоположным знаком, то есть, имеем систему
Замечаем, что в каждую из систем входит квадратное уравнение. А в целом, когда каждая из систем будет иметь решение? Только тогда когда уравнение имеет решение, и не просто имеет, а решение, принадлежащее УКАЗАННОМУ интервалу. Уравнение у нас иметь должно 4 решения. Очевидно, каждая из систем должна иметь ровно по 2 решения(поскольку каждая система даёт либо 0, либо 1, либо 2 решения - всё зависит от квадратного уравнения). То есть, ситуации, когда одна система имеет одно решение, а вторая - три, невозможна - квадратное уравнение не может иметь три корня.
а)Задача формулируется так: при каких а квадратное уравнение
имеет два корня на отрезке
. Запишем необходимые и достаточные условия для нашей ситуации.
,
,
Теперь подставляем всё и решаем полученную систему:
a∈
б)Совершенно аналогично рассматривается вторая система. Сразу записываем необходимые и достаточные условия:
Решая её, получаем, что a∈
, но с учётом a > 0 мы его отбрасываем.