Question

Сколько трёхзначных чисел обладают свойством после вычёркивания средней цифры полученое двухзначное число в 9 раз меньше первоначального

Answer 1

Пусть исходное число $\overline{abc}=100a+10b+c$.
После вычеркивания средней цифры получим число $\overline{ac}=10a+c$. По условию оно в 9 раз меньше первоначального:
$9(10a+c)=100a+10b+c \\\ 90a+9c=100a+10b+c \\\ 10a+10b-8c=0 \\\ 5a+5b-4c=0 \\\ 5(a+b)=4c$
Левая часть делятся на 5, значит и правая часть делится на 5, тогда с делится на 5. Так как с - цифра, то с=0 или с=5, но с≠0, так как левая часть не может быть равна нулю за счет ненулевого числа а. Значит, с=5.
$5(a+b)=4\cdot5 \\\ a+b=4$
Ситуаций, когда две цифры в сумме дают 4, причем первая из них не нулевая, 4:
(4; 0); (3; 1); (2; 2); (1; 3)
Ответ: 4 числа

Answer 2

100а + 10b + с = 9 • (10а + с)
100а + 10b + с = 90а + 9с
10b = – 10а + 8с
b = – а + 0,8с,
Так-как  а, b, с - цифра от 0 до 9, тогда число 0,9с  должно  быть  целым, при этом быть больше числа 0,8с — а.
Имеется один вариант с = 5, то есть
b = – а + 5  или  b = 4 – а, и так-как а будет больше 0, тогда b может принимать значения 1, 2, 3, 4.

Ответ:  135,  225, 315, 405.