Question

Помогите упростить выражение: (ответ: 1)

Answer 1

$\frac{sin^{2}a*(1+3ctg^{2}a+3ctg^{4}a+ctg^{6}a) }{ (1+ctg^{2}a) ^{2} }= \frac{sin^{2}a*(1+ \frac{3cos^{2}a}{sin^{2}a} +\frac{3cos^{4}a}{sin^{4}a}+\frac{cos^{6}a}{sin^{6}a}) }{ (1+\frac{cos^{2}a}{sin^{2}a}) ^{2} }=1$, т.к.:
1) Числитель:
$sin^{2}a*(1+ \frac{3cos^{2}a}{sin^{2}a} +\frac{3cos^{4}a}{sin^{4}a}+\frac{cos^{6}a}{sin^{6}a})=sin^{2}a+3cos^{2}a +\frac{3cos^{4}a}{sin^{2}a}+\frac{cos^{6}a}{sin^{4}a}=\frac{sin^{6}a+3cos^{2}a*sin^{4}a+3cos^{4}a*sin^{2}a+cos^{6}a}{sin^{4}a}=\frac{(sin^{2}a+cos^{2}a)^{3}}{sin^{4}a}=\frac{1}{sin^{4}a}$

2) Знаменатель:
$(1+\frac{cos^{2}a}{sin^{2}a})^{2}=(\frac{sin^{2}a+cos^{2}a}{sin^{2}a})^{2}=(\frac{1}{sin^{2}a})^{2}=\frac{1}{sin^{4}a}$

3) Числитель и знаменатель равны друг другу, значит дробь равна 1.

Ответ: 1