№9.
![f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+6x-20,\\f'(x)=x^2-4x+6=(x-2)^2+2.](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dx%5E3-2x%5E2%2B6x-20%2C%5C%5Cf%27%28x%29%3Dx%5E2-4x%2B6%3D%28x-2%29%5E2%2B2.)
∀x ∈ ℝ: f'(x) > 0 ⇒ f(x) возрастает на ℝ.
<u>Q.E.D.</u>
№10.
![f(x)=x^2-4x-10,\\f'(x)=2x-4.](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3Dx%5E2-4x-10%2C%5C%5Cf%27%28x%29%3D2x-4.)
Уравнение касательной в точке x₀:
![y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).](https://tex.z-dn.net/?f=y%3Df%28x_0%29%2Bf%27%28x_0%29%28x-x_0%29.)
Понятно, что это прямая, вида
Тогда ![k=f'(x_0).](https://tex.z-dn.net/?f=k%3Df%27%28x_0%29.)
Если она параллельна прямой
то ![k = -6.](https://tex.z-dn.net/?f=k%20%3D%20-6.)
![f'(x_0)=-6,\\2x_0-4=-6,\\x_0=-1.](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x_0%29%3D-6%2C%5C%5C2x_0-4%3D-6%2C%5C%5Cx_0%3D-1.)
![y = f(-1)+f'(-1)(x-(-1))=-5-6(x+1)=-6x-11.](https://tex.z-dn.net/?f=y%20%3D%20f%28-1%29%2Bf%27%28-1%29%28x-%28-1%29%29%3D-5-6%28x%2B1%29%3D-6x-11.)
<u>Ответ</u>: y = -6x - 11.
<span>1) F(x)=1/2x² +x+1 f(x)=x+1 x принадлежит R
F'(x)=1/2*2x+1+0=x+1
2)F(x)=3sinx+2/x f(x)=3cosx-2/x² x принадлежит R
F'(x)=3cosx-2/x^2
3)F(x)=2cosx-3/x f(x)=-2sinx+3/x² x принадлежит( -∞;0)
F'(x)=-2sinx+3/x^2
4)F(x)=3-2√x f(x)=-1/√x x принадлежит( 0;+∞)
<span>
F'(x)=0-2*1/2*1/sqrt(x)=-1/sqrt(x)
5) F(x)=5ctgx f(x)5/sin ²x х принадлежит(0;пи).</span></span>
F'(x)=-5/sin^2x не отвечает
1) обе части возводим во 2ю степень, чтобы избавиться от корня:
<span>150/x−<span>150/(x+10)</span>=0.5 </span>
приводим к общему знаменателю и отбрасываем его
<span>x≠0, x+10≠<span>0
х</span></span><span>≠-10 </span><span>
150(х+10) - 150х=0,5х²+10х
</span><span><span>150x+1500−150x=0.5x²+5x</span>
</span><span><span>0.5x²+5x−1500=0</span>
D = <span>b2−4ac</span> = <span>52+<span>4⋅0.5⋅1500</span></span> = 3025
<span>x1=<span>−5-55/1=</span>-60 </span></span><span>(не подходит, т.к. -60<0)
х2=-5+55/1=50 км/ч
</span>Скорость поезда <span> 50+10 = 60 км/ч.</span>