Question

Найдите наибольшую степень двойки, на которую делится 20^2018-16^1009 В качестве ответа приведите показатель в степени двойки.
Указание. Рассмотрите последние три цифры 5^k при различных натуральных k.

Answer 1

Преобразовав
20^2018-16^1009=2^4036*(5^2018-1)

Рассмотрим число
5^2018-1 по формуле разности квадратов и нечётных степеней
5^2018-1=(5^1009-1)(5^1009+1)=(5-1)(5^1008+5^1007+...+1)*(5+1)(5^1008-5^1007+...+1)
Так как во вторых скобках количестиво 5 в степенях четна, но +1 обращает число в нечётное, значит 5^2018=2^2*2*S=2^3*S
Тогда 20^2018-16^1009=2^(4039)*S
Ответ 4039