Третье и четвертое неравенства точно имеют решения из-за того, что свободный член отрицателен. Проще всего это доказывать на графике.
График квадратичной функции - парабола, ветви вверх, так как старший коэффициент >0, при x=0 функция равна свободному члену, который отрицателен. Значит, функция принимает и положительные, и отрицательные значения. В первом и втором неравенствах такой метод не проходит. Здесь обычно вычисляют дискриминант. В этих задачах он отрицательный⇒ парабола не пересекается с осью ОХ, а так как старший коэффициент положительный, ветви направлены вверх и⇒ вся парабола расположена выше оси OX. Поэтому первое неравенство выполнено везде, а второе - нигде.
Впрочем, вместо вычисления дискриминанта многие предпочитают выделять полный квадрат.
Ответ: второе неравенство
По формулам приведения: cos(180+60)=-cos60 ; cos(90+60)=-sin60 =>
cos(180°+60°)-cos(90°+60°)= - cos60+sin60=
Возводим в квадрат обе части неравенства, получим
![\sf a+\sqrt[\sf 4]{\sf b}>b+\sqrt[\sf 4]{\sf a}~~~\Rightarrow~~~ a-b>\sqrt[\sf 4]{\sf a}-\sqrt[\sf 4]{\sf b}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csf%20a%2B%5Csqrt%5B%5Csf%204%5D%7B%5Csf%20b%7D%3Eb%2B%5Csqrt%5B%5Csf%204%5D%7B%5Csf%20a%7D~~~%5CRightarrow~~~%20a-b%3E%5Csqrt%5B%5Csf%204%5D%7B%5Csf%20a%7D-%5Csqrt%5B%5Csf%204%5D%7B%5Csf%20b%7D)
Для ![\sf a-b=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=\left(\sqrt[\sf 4]{\sf a}-\sqrt[\sf 4]{\sf b}\right)\left(\sqrt[\sf 4]{\sf a}+\sqrt[\sf 4]{\sf b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csf%20a-b%3D%5Cleft%28%5Csqrt%7Ba%7D-%5Csqrt%7Bb%7D%5Cright%29%5Cleft%28%5Csqrt%7Ba%7D%2B%5Csqrt%7Bb%7D%5Cright%29%3D%5Cleft%28%5Csqrt%5B%5Csf%204%5D%7B%5Csf%20a%7D-%5Csqrt%5B%5Csf%204%5D%7B%5Csf%20b%7D%5Cright%29%5Cleft%28%5Csqrt%5B%5Csf%204%5D%7B%5Csf%20a%7D%2B%5Csqrt%5B%5Csf%204%5D%7B%5Csf%20b%7D%5Cright%29%5Cleft%28%5Csqrt%7Ba%7D%2B%5Csqrt%7Bb%7D%5Cright%29)
. Тогда
![\left(\sqrt[\sf 4]{\sf a}-\sqrt[\sf 4]{\sf b}\right)\left(\sqrt[\sf 4]{\sf a}+\sqrt[\sf 4]{\sf b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)>\sqrt[\sf 4]{\sf a}-\sqrt[\sf 4]{\sf b}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%28%5Csqrt%5B%5Csf%204%5D%7B%5Csf%20a%7D-%5Csqrt%5B%5Csf%204%5D%7B%5Csf%20b%7D%5Cright%29%5Cleft%28%5Csqrt%5B%5Csf%204%5D%7B%5Csf%20a%7D%2B%5Csqrt%5B%5Csf%204%5D%7B%5Csf%20b%7D%5Cright%29%5Cleft%28%5Csqrt%7Ba%7D%2B%5Csqrt%7Bb%7D%5Cright%29%3E%5Csqrt%5B%5Csf%204%5D%7B%5Csf%20a%7D-%5Csqrt%5B%5Csf%204%5D%7B%5Csf%20b%7D)
Так как a>b, то, умножив левую и правую части последнего неравенства на ![\sf \dfrac{1}{\sqrt[\sf 4]{\sf a}-\sqrt[\sf 4]{\sf b}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csf%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%5B%5Csf%204%5D%7B%5Csf%20a%7D-%5Csqrt%5B%5Csf%204%5D%7B%5Csf%20b%7D%7D)
, получим
![\sf \left(\sqrt[\sf 4]{\sf a}+\sqrt[\sf 4]{\sf b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)>1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csf%20%5Cleft%28%5Csqrt%5B%5Csf%204%5D%7B%5Csf%20a%7D%2B%5Csqrt%5B%5Csf%204%5D%7B%5Csf%20b%7D%5Cright%29%5Cleft%28%5Csqrt%7Ba%7D%2B%5Csqrt%7Bb%7D%5Cright%29%3E1)
- верно для достаточно больших a и b. Для малых a,b неравенство не выполняется, следовательно, утверждать нельзя.
Ответ: нет.
а - первоначальная цена товара
а*(1+р/100)(1+40/100)(1-50/100)=а-0,16а
а*(1+р/100)(1+40/100)(1-50/100)=0,84а, сокращаем обе части ур-я на <em>а</em> и получаем ур-е
(1+0,01р) * 1,4*0,5=0,84
(1+0,01р) * 0,7=0,84
1+0,01р=0,84:0,7
1+0,01р=1,2
0,01р=0,2
р=0,2:0,01
р=20%
Ответ: первоначально цену повысили на 20%
