1) Условие отсутствия проскальзывания: если катушка поворачивается на угол
![\alpha](https://tex.z-dn.net/?f=%5Calpha)
, то она продвигается на
![\alpha R](https://tex.z-dn.net/?f=%5Calpha+R)
. В терминах скоростей: если круговая скорость вращения относительно центра
![\omega](https://tex.z-dn.net/?f=%5Comega)
, то скорость поступательного движения
![v=\omega R](https://tex.z-dn.net/?f=v%3D%5Comega+R)
.
Рассмотрим два положения катушки, между которыми прошло короткое время t. За это время её центр успевает продвинуться от точки O до точки O' на
![vt=\omega R t](https://tex.z-dn.net/?f=vt%3D%5Comega+R+t)
, сама она проворачивается на угол
![\omega t](https://tex.z-dn.net/?f=%5Comega+t)
.
Вычислим, на какую величину изменилась длина свободной части нити. Во-первых, часть нити намоталась на катушку (изменение длины пропорционально углу, на который провернулась катушка, вклад равен длине дуги AA'
![-\omega t\cdot r](https://tex.z-dn.net/?f=-%5Comega+t%5Ccdot+r)
), во-вторых, часть нити освободилась при поступательном движении (вклад равен длине катета в выделенном треугольнике
![vt\cos\alpha](https://tex.z-dn.net/?f=vt%5Ccos%5Calpha)
). Суммарное изменение по условию должно равняться ut:
![vt\cos\alpha-\omega tr=ut\\ \omega(R\cos\alpha-r)=u\\ \boxed{\omega=\dfrac{u}{R\cos\alpha-r}}\\\boxed{v=\omega R=\dfrac {uR}{R\cos\alpha-r}} ](https://tex.z-dn.net/?f=vt%5Ccos%5Calpha-%5Comega+tr%3Dut%5C%5C%0A%5Comega%28R%5Ccos%5Calpha-r%29%3Du%5C%5C%0A%5Cboxed%7B%5Comega%3D%5Cdfrac%7Bu%7D%7BR%5Ccos%5Calpha-r%7D%7D%5C%5C%5Cboxed%7Bv%3D%5Comega+R%3D%5Cdfrac+%7BuR%7D%7BR%5Ccos%5Calpha-r%7D%7D%0A)
Если v > 0 (т.е.
![R\cos\alpha\ \textgreater \ r](https://tex.z-dn.net/?f=R%5Ccos%5Calpha%5C+%5Ctextgreater+%5C+r)
), катушка движется вправо, если v < 0 (
![R\cos\alpha\ \textless \ r](https://tex.z-dn.net/?f=R%5Ccos%5Calpha%5C+%5Ctextless+%5C+r)
) – влево.
Если
![R\cos\alpha=r](https://tex.z-dn.net/?f=R%5Ccos%5Calpha%3Dr)
, то движения в плоскости не будет.
2) Скорость и ускорение точки А (рис. 2)
Скорость точки A равна сумме скорости, связанной с вращением относительно центра, которая равна
![\omega R](https://tex.z-dn.net/?f=%5Comega+R)
и направлена по касательной, и скорости поступательного движения v. В данном случае
![v=\omega R](https://tex.z-dn.net/?f=v%3D%5Comega+R)
, скорости направлены перпендикулярно друг другу, значит, по правилу сложения векторов полная скорость направлена так, как изображено на рисунке, и её модуль равен
![v\sqrt 2](https://tex.z-dn.net/?f=v%5Csqrt+2)
.
Поступательное движение равномерное, поэтому ускорение возникает только из-за вращения, оно направлено по направлению к центру тела и равно
![\omega^2 R](https://tex.z-dn.net/?f=%5Comega%5E2+R)
.