Изначально газ занимает объем сосуда V и оказывает давление <span>p0</span>. Когда откроется клапан, и поршень переместится на некоторое расстояние (смотрите схему), газ уже будет занимать объем <span>(<span>V+<span>Vн</span></span>)</span>. Если принять, что температура газа остаётся постоянной (<span>T=const</span>), то можно записать закон Бойля-Мариотта и определить давление газа после одного хода поршня <span>p1</span>:
<span><span>p0</span>V=<span>p1</span><span>(<span>V+<span>Vн</span></span>)</span></span>
<span><span>p1</span>=<span>p0</span><span>V<span>V+<span>Vн</span></span></span>(1)</span>
Выполнив аналогичные рассуждения для второго хода поршня, получим:
<span><span>p1</span>V=<span>p2</span><span>(<span>V+<span>Vн</span></span>)</span></span>
<span><span>p2</span>=<span>p1</span><span>V<span>V+<span>Vн</span></span></span></span>
Подставим выражение (1) в последнюю формулу, тогда:
<span><span>p2</span>=<span>p0</span><span><span>(<span>V<span>V+<span>Vн</span></span></span>)</span>2</span></span>
Очевидно, что давление воздуха в сосуде <span>pN</span> после N ходов поршня можно находить по формуле:
<span><span>pN</span>=<span>p0</span><span><span>(<span>V<span>V+<span>Vн</span></span></span>)</span>N</span></span>
Применительно в этой задаче: после трёх ходов поршня (<span>N=3</span>) давление <span>p3</span> можно определить по формуле:
<span><span>p3</span>=<span>p0</span><span><span>(<span>V<span>V+<span>Vн</span></span></span>)</span>3</span></span>
Чтобы найти отношение объема сосуда к объему цилиндра насоса, нужно произвести следующие математические действия:
<span><span><span>p3</span><span>p0</span></span>=<span><span>(<span>V<span>V+<span>Vн</span></span></span>)</span>3</span></span>
<span><span><span><span>p3</span><span>−−</span>√3</span><span><span>p0</span><span>−−</span>√3</span></span>=<span>V<span>V+<span>Vн</span></span></span></span>
<span><span><span>V+<span>Vн</span></span>V</span>=<span><span><span>p0</span><span>−−</span>√3</span><span><span>p3</span><span>−−</span>√3</span></span></span>
<span>1+<span><span>Vн</span>V</span>=<span><span><span>p0</span><span>−−</span>√3</span><span><span>p3</span><span>−−</span>√3</span></span></span>
<span><span><span>Vн</span>V</span>=<span><span><span>p0</span><span>−−</span>√3</span><span><span>p3</span><span>−−</span>√3</span></span>—1</span>
<span><span><span>Vн</span>V</span>=<span><span><span><span>p0</span><span>−−</span>√3</span>—<span><span>p3</span><span>−−</span>√3</span></span><span><span>p3</span><span>−−</span>√3</span></span></span>
<span><span>V<span>Vн</span></span>=<span><span><span>p3</span><span>−−</span>√3</span><span><span><span>p0</span><span>−−</span>√3</span>—<span><span>p3</span><span>−−</span>√3</span></span></span></span>
Посчитаем численный ответ:
<span><span>V<span>Vн</span></span>=<span><span><span>28,7⋅<span>103</span></span><span>−−−−−−−−</span>√3</span><span><span><span>97⋅<span>103</span></span><span>−−−−−−</span>√3</span>—<span><span>28,7⋅<span>103</span></span><span>−−−−−−−−</span>√3</span></span></span>=<span>2</span></span>
