Свойства степеней (с примерами)<span>1-е свойство степени Любое число отличное от нуля в нулевой степени равно единице. <span><span>a0</span>=1</span>, если <span>a≠0</span> <em>Например:</em> <span><span>1120</span>=1</span>, <span><span><span>(−4)</span>0</span>=1</span>, <span><span><span>(0,15)</span>0</span>=1</span></span><span>2-е свойство степени Любое число в первой степени равно самому числу. <span><span>a1</span>=a</span> <em>Например:</em> <span><span>231</span>=23</span>, <span><span><span>(−9,3)</span>1</span>=−9,3</span></span><span>3-е свойство степени Любое число в четной степени положительно. <span><span>an</span>=<span>an</span></span>, если n - четное (делящееся на 2) целое число <span><span><span>(−a)</span>n</span>=<span>an</span></span>, если n - четное (делящееся на 2) целое число <em>Например:</em> <span><span>24</span>=16</span>, <span><span><span>(−3)</span>2</span>=<span>32</span>=9</span>, <span><span><span>(−1)</span>10</span>=<span>110</span>=1</span></span><span>4-е свойство степени Любое число в нечетной степени сохраняет свой знак. <span><span>an</span>=<span>an</span></span>, если n - нечетное (не делящееся на 2) целое число <span><span><span>(−a)</span>n</span>=−<span>an</span></span>, если n - нечетное (не делящееся на 2) целое число <em>Например: </em><span><span>53</span>=125</span>, <span><span><span>(−3)</span>3</span>=−<span>33</span>=−27</span>, <span><span><span>(−1)</span>11</span>=−<span>111</span>=−1</span></span><span>5-е свойство степени Произведение чисел, возведенн<em>ое</em> в степень, можно представить как произведение чисел возведенн<em>ых</em> в <em>эту </em>степень (и наоборот). <span><span><span>(a⋅b)</span>n</span>=<span>an</span>⋅<span>bn</span></span>, при этом a, b, n - любые допустимые (не обязательно целые) числа <em>Например:</em> <span><span><span>(2,1⋅0,3)</span><span>4,5</span></span>=2,<span>1<span>4,5</span></span>⋅0,<span>3<span>4,5</span></span></span></span><span>6-е свойство степени Частное (деление) чисел, возведенн<em>ое</em> в степень, можно представить как частное чисел возведенн<em>ых</em> в <em>эту </em>степень (и наоборот). <span><span><span>(<span>ab</span>)</span>n</span>=<span><span>an</span><span>bn</span></span></span>, при этом a, b, n - любые допустимые (не обязательно целые) числа <em>Например:</em> <span><span><span>(<span><span>1,7</span>5</span>)</span><span>0,1</span></span>=<span><span><span>(1,7)</span><span>0,1</span></span><span>5<span>0,1</span></span></span></span></span><span>7-е свойство степени Любое число в отрицательной степени равно обратному числу в этой степени. (Обратное число это число на которое нужно умножить данное число, чтобы получить единицу.) <span><span>a<span>−n</span></span>=<span>1<span>an</span></span></span>, при этом a и n - любые допустимые (не обязательно целые) числа <em>Например:</em> <span><span>7<span>−2</span></span>=<span>1<span>72</span></span>=<span>149</span></span></span><span>8-е свойство степени Любая дробь в отрицательной степени равна обратной дроби в этой степени. <span><span><span>(<span>ab</span>)</span><span>−n</span></span>=<span><span>(<span>ba</span>)</span>n</span></span>, при этом a, b, n - любые допустимые (не обязательно целые) числа <em>Например:</em> <span><span><span>(<span>23</span>)</span><span>−2</span></span>=<span><span>(<span>32</span>)</span>2</span></span>, <span><span><span>(<span>14</span>)</span><span>−3</span></span>=<span><span>(<span>41</span>)</span>3</span>=<span>43</span>=64</span></span><span>9-е свойство степени При умножении степеней с одинаковым основанием показатели степени складываются, а основание остается прежним. <span><span>an</span>⋅<span>am</span>=<span>a<span>n+m</span></span></span>, при этом a, n, m - любые допустимые (не обязательно целые) числа <em>Например:</em> <span><span>23</span>⋅<span>25</span>=<span>2<span>3+5</span></span>=<span>28</span></span>, обратите внимание, что это свойство степени сохраняется и для отрицательных значений степеней <span><span>3<span>−2</span></span>⋅<span>36</span>=<span>3<span>−2+6</span></span>=<span>34</span></span>, <span><span>47</span>⋅<span>4<span>−3</span></span>=<span>4<span>7+<span>(−3)</span></span></span>=<span>4<span>7−3</span></span>=<span>44</span></span></span><span>10-е свойство степени При делении степеней с одинаковым основанием показатели степени вычитаются, а основание остается прежним. <span><span><span>an</span><span>am</span></span>=<span>a<span>n−m</span></span></span>, при этом a, n, m - любые допустимые (не обязательно целые) числа <em>Например:</em> <span><span><span><span>(1,4)</span>2</span><span><span>(1,4)</span>3</span></span>=1,<span>4<span>2−3</span></span>=1,<span>4<span>−1</span></span></span>, обратите внимание, как применяется это свойство степени к отрицательным значения степеней<span><span><span>3<span>−2</span></span><span>36</span></span>=<span>3<span>−2−6</span></span>=<span>3<span>−8</span></span></span>, <span><span><span>47</span><span>4<span>−3</span></span></span>=<span>4<span>7−<span>(−3)</span></span></span>=<span>4<span>7+3</span></span>=<span>410</span></span></span><span>11-е свойство степени При возведении степени в степень степени перемножаются. <span><span><span>(<span>an</span>)</span>m</span>=<span>a<span>n⋅m</span></span></span> Например: <span><span><span><span>(<span>23</span>)</span>2</span>=<span>2<span>3⋅2</span></span>=<span>26</span>=64</span></span></span>