Правильный выпуклый многогранник образован из одинаковых правильных многоугольников и обладает пространственной симметрией. Как это ни странно, но существует только 5 правильных многогранников: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, гексаэдр или куб и додекаэдр. Тетраэдр это правильная треугольная пирамида, число граней 4 и ребер 6. Октаэдр соответственно 8 и 12. Икосаэдр 20 и 30 – здорово! Куб нам знаком 6 и 12. Додекаэдр 20 и 30. Эйлер дает такую формулу, которая связывает число граней (Г), ребер (Р) и вершин (В) любого выпуклого многогранника В + Г = Р + 2. Обозначим р – число сторон каждой грани и q – число ребер, сходящихся в каждой вершине. При этом выполняются соотношения: рГ = 2Р = qВ.
Внутри каждого правильного многогранника можно поместить так называемую вписанную сферу радиусом r (которая касается каждой грани в ее центре), а снаружи любого такого многогранника можно построить описанную сферу радиусом R (которая проходит через вершины многогранника). Эти радиусы вычисляются по формулам
R = (a/2)∙tg(π/q)∙tg(θ/2) (1)
r = (a/2)∙ctg(π/p)∙tg(θ/2) (2)
где θ – двугранный угол между смежными гранями
sin(θ/2) = cos(π/q)/sin(π/p) (3)
и а - длина ребра для всех рассмотренных многогранников. Площадь поверхности многогранника S это есть площадь правильного р-угольника, умноженное на число граней Г
S = (a/2)^2∙p∙ctg(π/p) (4)
Вот мы и дошли до объема правильного многогранника V
V = (1/3)rS (5)
Объем вычисляется как объем правильной пирамиды (основанием пирамиды является правильный р-угольник, а высотой – радиус вписанной сферы r) на число этих пирамид. А число пирамид равно числу граней Г. Михаил Белодедов так и предложил вычислять объем многогранника.
Если принять, что длины ребер любого многогранника а = 2, то получим для куба радиус вписанной сферы r = 1, радиус описанной сферы R = √3, площадь поверхности r = 24 и объем куба V = 8. Можете это проверить, так как куб очень простая фигура и его можно просчитать и без приведенных формул. Попробуйте.
