Question

Две вершины центр вписанной окружности и точка пересечения высот остроугольного угольника лежат на одной окружности Найдите угол при Третьей вершине

Answer 1

Пусть окружность проходит через вершины А и B треугольника ABC, H - точка пересечения высот и О - центр вписанной окружности. Т.к. О - точка пересечения биссектрис, то  ∠AOB=90°+∠C/2. Т.к. ∠AOB и ∠AHB опираются на общую дугу и ∠AHB - смежный к углу равному ∠С, то ∠AOB=∠AHB=180°-∠С. Итак,  90°+∠C/2=180°-∠С, откуда ∠С=60°.