Рассмотрим первое уравнение системы. Перепишем его таким образом:
![|x|^{2} - \sqrt{3} |y||x| + 3 = 0](https://tex.z-dn.net/?f=+%7Cx%7C%5E%7B2%7D++-++%5Csqrt%7B3%7D+%7Cy%7C%7Cx%7C+%2B+3+%3D+0)
Здесь я использовал то, что
![|xy| = |x||y|](https://tex.z-dn.net/?f=%7Cxy%7C+%3D+%7Cx%7C%7Cy%7C)
(то есть модуль произведения равен произведению модулей), а
![x^{2} = |x|^{2}](https://tex.z-dn.net/?f=+x%5E%7B2%7D+%3D++%7Cx%7C%5E%7B2%7D+)
(достаточно очевидно).
Это квадратное уравнение относительно |x|, при этом y считаем некоторым переменным коэффициентом. Найдём его дискриминант:
![D = 3 |y|^{2} - 4 * 3 = 3 y^{2} - 12 = 3( y^{2} - 4)](https://tex.z-dn.net/?f=D+%3D+3+%7Cy%7C%5E%7B2%7D+-+4+%2A+3+%3D+3+y%5E%7B2%7D+-+12+%3D+3%28+y%5E%7B2%7D+-+4%29)
Очевидно, если
![D \ \textless \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=D+%5C+%5Ctextless+%5C++0)
, то решений это квадратное уравнение не имеет. А потому нет решений у исходной системы.
Следовательно,
![D \geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=D++%5Cgeq++0)
.
1)Пусть сначала
![D \ \textgreater \ 0 \\ 3( y^{2} -4) \ \textgreater \ 0 \\ y^{2} -4 \ \textgreater \ 0 \\ |y| \ \textgreater \ 2](https://tex.z-dn.net/?f=D+%5C+%5Ctextgreater+%5C++0+%5C%5C+3%28+y%5E%7B2%7D+-4%29+%5C+%5Ctextgreater+%5C++0+%5C%5C++y%5E%7B2%7D+-4++%5C+%5Ctextgreater+%5C++0+%5C%5C+%7Cy%7C+%5C+%5Ctextgreater+%5C++2)
.
Но этот случай невозможен.
Из второго уравнения системы(в силу того, что
![(2x- \sqrt{3}x) ^{2} \geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=+%282x-+%5Csqrt%7B3%7Dx%29+%5E%7B2%7D++%5Cgeq+0)
) следует, что и
![4- y^{2} \geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=4-+y%5E%7B2%7D+++%5Cgeq+0)
.
Но при
![|y| \ \textgreater \ 2](https://tex.z-dn.net/?f=%7Cy%7C+%5C+%5Ctextgreater+%5C++2)
, очевидно,
![4 - y^{2} \ \textless \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=4+-++y%5E%7B2%7D+%5C+%5Ctextless+%5C++0)
. Следовательно, в этом случае второе уравнение не имеет решений.
2)Осталось лишь рассмотреть случай, когда
![|y| = 2](https://tex.z-dn.net/?f=%7Cy%7C+%3D+2)
, то есть,
![y = +-2](https://tex.z-dn.net/?f=y+%3D+%2B-2)
.
а)
![y = 2](https://tex.z-dn.net/?f=y+%3D+2)
. Тогда из второго уравнения системы находим x:
![2x - 2 \sqrt{3} = 0 \\ x = \sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=2x+-+2+%5Csqrt%7B3%7D+%3D+0+%5C%5C+x+%3D++%5Csqrt%7B3%7D+)
Проверяем его, удовлетворяет ли он первому уравнению:
![( \sqrt{3}) ^{2} + 3 = \sqrt{3} |2 \sqrt{3} | \\ 6 = 2 * 3 = 6](https://tex.z-dn.net/?f=+%28+%5Csqrt%7B3%7D%29+%5E%7B2%7D++%2B+3+%3D++%5Csqrt%7B3%7D+%7C2+%5Csqrt%7B3%7D+%7C+%5C%5C+6+%3D+2+%2A+3+%3D+6)
- верно.
б)
![y = -2](https://tex.z-dn.net/?f=y+%3D+-2)
. Тогда
![2x - \sqrt{3} (-2) = 0 \\ 2x = -2 \sqrt{3} \\ x = - \sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=2x+-++%5Csqrt%7B3%7D+%28-2%29+%3D+0+%5C%5C+2x+%3D+-2+%5Csqrt%7B3%7D++%5C%5C+x+%3D+-+%5Csqrt%7B3%7D+)
Теперь проверяем:
![(- \sqrt{3} ) ^{2} + 3 = \sqrt{3} |(-2)(- \sqrt{3} )| \\ 6 = 6](https://tex.z-dn.net/?f=+%28-++%5Csqrt%7B3%7D+%29+%5E%7B2%7D+%2B+3+%3D++%5Csqrt%7B3%7D+%7C%28-2%29%28-+%5Csqrt%7B3%7D+%29%7C+%5C%5C+6+%3D+6)
- верно.
Следовательно, решением системы служат две пары чисел:
![(\sqrt{3},2)](https://tex.z-dn.net/?f=%28%5Csqrt%7B3%7D%2C2%29)
и
![(- \sqrt{3},-2)](https://tex.z-dn.net/?f=%28-+%5Csqrt%7B3%7D%2C-2%29)