Дано уравнение:
![log_2((2x-3)^2+4)=2-cos^2(7 \pi x).](https://tex.z-dn.net/?f=log_2%28%282x-3%29%5E2%2B4%29%3D2-cos%5E2%287+%5Cpi+x%29.)
Правая часть может иметь значение от 2 до 1 (косинус в квадрате от 0 до 1).
Раскроем логарифмируемое выражение:
![4 x^{2} -12x+9+4 = 4 x^{2} -12x+13.](https://tex.z-dn.net/?f=4+x%5E%7B2%7D+-12x%2B9%2B4+%3D+4+x%5E%7B2%7D+-12x%2B13.)
График его - парабола ветвями вверх. Минимальное значение равно в её вершине с абсциссой:
![x_0=- \frac{b}{2a} =- \frac{-12}{2*4} = \frac{12}{8}=1,5.](https://tex.z-dn.net/?f=x_0%3D-+%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D+%3D-+%5Cfrac%7B-12%7D%7B2%2A4%7D+%3D+%5Cfrac%7B12%7D%7B8%7D%3D1%2C5.++)
В этой точке значение выражения равно 4*2,25-18+13=4 или 2².
Значит, <span>логарифмируемое выражение не может быть меньше 4, а логарифм по основанию 2 не меньше 2.
И больше он не может быть по вышеприведенному обоснованию.
Тогда </span>4x²-12x+13=4 или 4x²<span> -12x+9 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: <span>Ищем дискриминант:</span>
D=(-12)^2-4*4*9=144-4*4*9=144-16*9=144-144=0; <span>Дискриминант равен 0, уравнение имеет 1 корень:</span>
x=-(-12/(2*4))=-(-12/8)=-(-1,5)=1,5.
Ответ: х = 1,5.</span>