Question

1.Каково ускорение свободного падения на поверхности планеты с такой же, как у Земли,
плотностью, но вдвое меньшим радиусом?(4/9 м/c2)
________________________________________________________________________________
2.Вычислить первую космическую скорость спутника, движущегося по круговой орбите,
на высоте, равной земному радиусу от поверхности Земли. Радиус Земли равен 6400 км.
(5.6)

Answer 1

1) Ускорение свободного падения на поверхности планеты определяется выражением g = G*M/R². Где G - гравитационная постоянная; M - масса планеты; R - радиус планеты. Масса планеты M = p*V; где р - средняя плотность вещества планеты;  V - объем планеты. Объем планеты V = 4πR³/3/ Таким образом для Земли gз = G*pз*4*π*Rз³/3Rз² = G*pз*4*π*Rз/3; здесь рз - средняя плотность вещества Земли;  Rз - радиус Земли.  У некоторой гипотетической планеты радиус = Rз/2. Тогда ускорение свободного падения на её поверхности gп =  {G*pз*4*π*(Rз/2)³}/3(Rз/2)² = {G*pз*4*π*(Rз/2)}/3 = G*pз*2*π*Rз/3.  Разделим gз на gп, имеем  gз/gп ={G*pз*4*π*Rз/3}/{G*pз*2*π*Rз/3}= 2. Таким образом ускорение свободного падения на гипотетической планете gп = gз/2 = 10/2 = 5 м/с.

 2) Во-первых, надо уточнить, что круговая (орбитальная) скорость на высоте полета спутника 6400 км, не является первой космической.  Первая космическая скорость, это такая минимальная скорость, которую надо сообщить телу, находящемуся на поверхности планеты, что бы вывести это тело на круговую орбиту вокруг планеты. Таким образом первая космическая скорость для любой планеты, в том числе и для Земли, не зависит от высоты полета тела (спутника), а зависит от ускорения свободного падения на поверхности планеты и от радиуса планеты.  И если Вы посмотрите, например, в Википе-дии, то увидите, что для всех планет Солнечной системы, и для самого Солнца указывается величина первой космической скорости без всякой увязки с высотой полета над поверхностью. Для Солнца первая космическая скорость равна, примерно, 436,5 км/с.  А, к примеру, Земля движется на расстоянии 150 миллионов км от Солнца (можно сказать, что движется на высоте от поверхности Солнца в 150 миллионов км). При этом орбитальная скорость Земли около 30 км/с. Но эту скорость ни кто не называет первой космической скоростью для Солнца на высоте полета в 150 миллионов км.  Эта скорость называется орбитальная скорость движения Земли вокруг Солнца. Вот так и со спутниками, обращающимися вокруг Земли.
 Чтобы тело двигалось по окружности на тело должно действовать центростремительное ускорение. Это ускорение a = V²/R. Здесь V - круговая (линейная) скорость тела; R - радиус окружности.  При движении спутника на некоторой высоте  вокруг планеты, центростремительным ускорением является ускорение свободного падения на той высоте, на которой летит спутник.  Ускорение свободного падения на некоторой высоте можно найти по формуле gh = G*M/(R+h)^2.  Но, зная g  на поверхности Земли, достаточно найти во сколько раз gh будет меньше, чем  g  на поверхности Земли. Таким образом g/gh  = {G*M/R²}/{G*M/(R+h)²}.  Если h = R, то g/gh   = (R + R)²/R² = 4R²/R² = 4. Таким  образом, gh = g/4.  Следовательно на высоте полета равной 6400 км ускорение свободного падения gh = g/4, оно и является центростремительным для спутника.  Следовательно g/4 = V²/(R + h) = V²/(R + R) = V²/2R. Отсюда  V = √(g*R/2) = √10*6400000/2 =5656, 854..м/с