Действительно приведенные слова - это омографы: пишутся они совершенно одинаково, а лексические значения имеют разные. Эти значения зависят от ударения в словах.
Например.
1) Без коня невозможно было быстро добраться до моста, поэтому командир приказал спЕшить первого же всадника.
2) Чтобы выполнить поставленную задачу, нужно было спешИть.
Понятно, что в первом предложении говорится о том, что у кого-то нужно отнять коня, то есть заставить его идти пешком, сделать не всадником, а "пЕшим" человеком.
Ударение в глаголе, а также в однокоренных словах с таким значением приходится на первый слог (на гласную "е").
Во втором предложении глагол имеет значение "торопиться", поэтому синоним к этому слову произносится с ударным вторым слогом -- "спешИть".
Примеров слов-омографов в русском языке много, вот несколько примеров:
Атлас (альбом карт географических) -- атлАс (вид ткани);
ПроволОчка (задержка при выполнении какого-то задания) -- прОволочка (уменьшительное от слова прОволока).