Question

График функции y=(x^2+8x+16)/(x+3) Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремумы функции.

Answer 1

Находим производную заданной функции y=(x²+8x+16)/(x+3).
$( \frac{x^2+8x+16}{x+3})dx= \frac{(x^2+8x+16)'*(x+3)+(x^2+8x+16)*(x+3)'}{(x+3)^2} =$$\frac{(2x+8)(x+3)+(x^2+8x+16)*1}{(x+3)^2} = \frac{x^2+6x+8}{(x+3)^2}.$
Приравняем её нулю, для чего достаточно приравнять нулю числитель.
х²+6х+8 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=6^2-4*1*8=36-4*8=36-32=4;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√4-6)/(2*1)=(2-6)/2=-4/2=-2;x₂=(-√4-6)/(2*1)=(-2-6)/2=-8/2=-4.
Получили 2 критические точки: х=-2 и х=-4.
Находим значения производной вблизи критических точек.
х =      -5    -4    -3.5      -2.5     -2       -1
y' =   -1.5    0      1.5       -1.5     0       1.5.
Учитываем, что функция имеет разрыв в точке х = -3.
На промежутках (-∞;-4) и (-2;+∞), где производная положительна - там функция возрастает, на промежутках (-4;-3) и (-3;-2), где производная отрицательна - там функция убывает.

Точки экстремума и экстремумы функции определяем по свойству производной.
Когда в критической точке производная меняет знак с + на - там максимум функции, где с - на + там минимум.
Точка максимума: х = -4, у = (16-32+16)/(-4+3) = 0.
Точка минимума: х = -2, у = (4-16+16)/(-2+3) = 4.