Question

Во вложении...
Уровень С3

Answer 1

$\sqrt{25+25x^2-30x}\leq3+\cos^2\frac{5\pi}{3}x\\ D=30^2-4\cdot25^2<0;\\ 25+25x^2-30x\leq9+6\csos^2\frac{5\pi}{3}x+\cos^4\frac{5pi}{4}x$
$-1\leq\cos\frac{5\pi}{3}x\leq1;\\ 0\leq\cos^2\frac{5\pi}{3}x\leq1;\\ 3\leq3+\cos^2\frac{5\pi}{3}x\leq1;$
поэтому надо найти те значения х, при которых корень меньше 2 и 4
$\sqrt{25x^2-30x+25}\leq2;\\ 25x^2-30x+25\leq4;\\ 25x^2-30x+21\leq0;\\ D=30^2-4\cdot25\cdot21=900-2100=-1200<0$
всегда выше 2
$\sqrt{25x^2-30x+25}\leq4;\\ 25x^2-30x+25\leq16;\\ 25x^2-30x+9\leq0;\\ D=30^2-4\cdot25\cdot9=900-900=0;\\ x=\frac{30}{50}=\frac{3}{5};\\ \sqrt{25(\frac{3}{5})^2-30\frac35+25}=\sqrt{9-18+25}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4;$
можно  ещё и посмотреть и производную
$f(x)=\sqrt{25x^2-30x+25};\\ f'(x)=\frac{50x-30}{2\sqrt{25x^2-30x+25}};\\ 30x-50=0;\ \ x=\frac{3}{5}$ это минимум, при всех остальних х корень больше 4, то-есть наше неравенсчтво не выполняеться
посмотрим на правое выражение при х=3/5;
$3+\cos^2\frac{5\pi}{3}\frac{3}{5}=3+\cos^2\pi=3+(-1)^2=3+1=4;$
при х=3/5 выполняеться равенство и не более
то-есть
$x=\frac{3}{5}$
или запишем промежуток
$x\in\left\{\frac{3}{5}\right\}$

Answer 2

Рассмотрим две функций отдельно $y=\sqrt{25+25x^2-30x}$ это парабола которая ограничена осью $OY$  которые лежать ниже.Найдем промежутки возрастания и убывания $y'=\frac{50x-30}{2\sqrt{25x^2-30x+25}}\\ y'=0\\ x=\frac{3}{5}$ Возрастает на $[\frac{3}{5};+oo)$ Убывает на  $(-oo;\frac{3}{5}]$   минимальное значение $f(\frac{3}{5})=4$ 
теперь вторую  функцию  $y=3+cos^2\frac{5\pi*x}{3}$ 
найдем минимальное и максимальное значение 
$y'=\frac{-10\pi*cos\frac{5\pi*x}{3}*sin\frac{5\pi*x}{3}}{3}\\ y'=0\\ x=\frac{3k}{5}+\frac{3}{10};\frac{3k}{5}$ 
 Откуда минимальное и максимальное значение  
 $3;4$  соответственно , так как первая представляет собой не периодическую функцию , у которой минимальное значение совпадает с максимальным у второй , то вторая представляет собой косинусоиду , которая периодичная с периодом 
 $T=\frac{6}{5}$ 
 очевидно  последнее равенство выполняется когда 
   $x=\frac{3}{5}$