<span>Пусть g — фиксированная прямая (рис. 191). </span>
<span><span> </span>Возьмем произвольную точку X и опустим перпендикуляр АХ на прямую g. На продолжении перпендикуляра за точку А отложим отрезок АХ', равный отрезку АХ. Точка X' называется симметричной точке X относительно прямой g. Если точка X лежит на прямой g, то симметричная ей точка есть сама точка X. Очевидно, что точка, симметричная точке Х' есть точка X.</span>
<span><span> </span>Преобразование фигуры F в фигуру F', при котором каждая ее точка X переходит в точку X', симметричную относительно данной прямой g, называется <em>преобразованием симметрии</em> относительно прямой g. При этом фигуры F и F' называются симметричными относительно прямой g (рис. 192).</span>
<span><span> </span>Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой g, а прямая g называется <em>осью симметрии</em> фигуры.</span>
<span>Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются осями симметрии прямоугольника (рис. 193). Прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии (рис. 194).
</span>
<span> Теорема <em>Преобразование симметрии относительно прямой является движением.</em></span>
<span>
<span> </span>Доказательство. </span>
<span>Примем данную прямую за ось у декартовой системы координат (рис. 195). Пусть произвольная точка А (х; у) фигуры F переходит в точку А' (х'; у') фигуры F'. Из определения симметрии относительно прямой следует, что у точек А и А' равные ординаты, а абсциссы отличаются только знаком:</span>
<span>х'= —х.
Возьмем две произвольные точки А(х1; y1) и В (х2; y2)- Они перейдут в точки А' ( — х1, y1) и В' ( —x2; y2).</span>
<span>Имеем:
AB2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
A'B'2 =(-x2 + x1)2+(y2-y1)2.
Отсюда видно, что АВ=А'В'. А это значит, что преобразование симметрии относительно прямой есть движение. Теорема доказана.</span>