Question

Помогите Пожалуйста,голова идет кругом. Решите дифференциальные уравнения и найдите частные решения (частные интегралы), удовлет­воряющие данным условиям:
(xy^2+y^2)dx+(x^2-x^2y)dy=0,y=1 при x=1.

Answer 1

Это уравнение с разделяющимися переменными.
Надо записать его так:
y²(х+1)dx=-х²(1-y)dy
или
y²(х+1)dx=х²(y-1)dy
и разделить переменные:
$\frac{x+1}{ x^{2} }dx = \frac{y-1}{y ^{2} }dy$
Интегрируем
$\int\limits { \frac{x+1}{ x^{2} } \, dx = \int\limits { \frac{y-1}{y ^{2} }}} \, dy$
Упрощаем подынтегральные выражения
$\int\limits { (\frac{x}{ x^{2} }+ \frac{1}{ x^{2} }) \, dx = \int\limits ({ \frac{y}{y ^{2} }- \frac{1}{y ^{2} } }}) \, dy \\ \int\limits { (\frac{1}{ x} }+ \frac{1}{ x^{2} }) \, dx = \int\limits { (\frac{1}{y }- \frac{1}{y ^{2} } }}) \, dy$
Находим интегралы по таблице интегралов:
$ln |x| - \frac{1}{x}=ln|y|+ \frac{1}{y}+ C$-
общее решение дифференциального уравнения

при х=1 у=1
$ln |1| - \frac{1}{1}=ln|1|+ \frac{1}{1}+ C\Rightarrow C=-2$
тогда
$ln |x| - \frac{1}{x}=ln|y|+ \frac{1}{y}-2$-
частное решение дифференциального уравнения при х=1 у=1