Это уравнение с разделяющимися переменными.
Надо записать его так:
<span>y²(х+1)dx=-х²(1-y)dy
или
</span>y²(х+1)dx=х²(y-1)dy
и разделить переменные:
![\frac{x+1}{ x^{2} }dx = \frac{y-1}{y ^{2} }dy](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7B+x%5E%7B2%7D+%7Ddx+%3D+%5Cfrac%7By-1%7D%7By+%5E%7B2%7D+%7Ddy+)
Интегрируем
![\int\limits { \frac{x+1}{ x^{2} } \, dx = \int\limits { \frac{y-1}{y ^{2} }}} \, dy](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cint%5Climits+%7B+%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7B+x%5E%7B2%7D+%7D+%5C%2C+dx+%3D+%5Cint%5Climits+%7B+%5Cfrac%7By-1%7D%7By+%5E%7B2%7D+%7D%7D%7D+%5C%2C+dy+)
Упрощаем подынтегральные выражения
![\int\limits { (\frac{x}{ x^{2} }+ \frac{1}{ x^{2} }) \, dx = \int\limits ({ \frac{y}{y ^{2} }- \frac{1}{y ^{2} } }}) \, dy \\ \int\limits { (\frac{1}{ x} }+ \frac{1}{ x^{2} }) \, dx = \int\limits { (\frac{1}{y }- \frac{1}{y ^{2} } }}) \, dy \\](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cint%5Climits+%7B+%28%5Cfrac%7Bx%7D%7B+x%5E%7B2%7D+%7D%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B+x%5E%7B2%7D+%7D%29++%5C%2C+dx+%3D+%5Cint%5Climits+%28%7B+%5Cfrac%7By%7D%7By+%5E%7B2%7D+%7D-+%5Cfrac%7B1%7D%7By+%5E%7B2%7D+%7D+%7D%7D%29+%5C%2C+dy+%5C%5C++%5Cint%5Climits+%7B+%28%5Cfrac%7B1%7D%7B+x%7D+%7D%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B+x%5E%7B2%7D+%7D%29++%5C%2C+dx+%3D+%5Cint%5Climits+%7B+%28%5Cfrac%7B1%7D%7By+%7D-+%5Cfrac%7B1%7D%7By+%5E%7B2%7D+%7D+%7D%7D%29+%5C%2C+dy+%5C%5C)
Находим интегралы по таблице интегралов:
![ln |x| - \frac{1}{x}=ln|y|+ \frac{1}{y}+ C](https://tex.z-dn.net/?f=ln+%7Cx%7C+-+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%3Dln%7Cy%7C%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7By%7D%2B+C++)
-
общее решение дифференциального уравнения
при х=1 у=1
![ln |1| - \frac{1}{1}=ln|1|+ \frac{1}{1}+ C\Rightarrow C=-2 \\](https://tex.z-dn.net/?f=ln+%7C1%7C+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B1%7D%3Dln%7C1%7C%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B1%7D%2B+C%5CRightarrow+++C%3D-2+%5C%5C+)
тогда
![ln |x| - \frac{1}{x}=ln|y|+ \frac{1}{y}-2](https://tex.z-dn.net/?f=ln+%7Cx%7C+-+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%3Dln%7Cy%7C%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7By%7D-2+)
-
частное решение дифференциального уравнения при х=1 у=1