Ответ:
1142 кв. единица
Пошаговое объяснение:
Дано множество заданное неравенством:
x²+y²+20·(x-|y|)≤0
Неравенство содержит модуль, поэтому рассмотрим случаи в зависимости от знака переменного y.
1) y<0. В силу этого |y| = -y. Тогда неравенство имеет вид:
x²+y²+20·(x-(-y))≤0
x²+2·10·x+100-100+y²+2·10·y+100-100≤0
(x+10)²+(y+10)²≤200
(x+10)²+(y+10)²≤(10·√2)²
Отсюда следует, что наша фигура - это круг с центром в точке (-10; -10) и радиусом R=10·√2 (R²=200), у которого отделена часть из-за y<0 в виде сегмента (см. рисунок 1, сегмент - жёлтый). Площадь S(y<0) этой фигуры можно определить как разность площадей круга и сегмента:
S(y<0)=Sкруг-Sсегмент=π·R²-Sсегмент=200·π-Sсегмент
Формула площади сегмента:
Sсегмент=![\frac{R^{2} }{2} (\frac{\pi \alpha }{180^{0} } -sin\alpha )](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7BR%5E%7B2%7D%20%7D%7B2%7D%20%28%5Cfrac%7B%5Cpi%20%5Calpha%20%7D%7B180%5E%7B0%7D%20%7D%20-sin%5Calpha%20%29)
Так как О₁0 является диагональю квадрата стороной 10, то половина угла α=45°, то есть α=90°. Тогда
Sсегмент=![\frac{200}{2} *(\frac{\pi *90^{0} }{180^{0} } -sin90^{0} )=100*(\frac{\pi }{2}-1)=50*\pi -100](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B200%7D%7B2%7D%20%2A%28%5Cfrac%7B%5Cpi%20%2A90%5E%7B0%7D%20%20%7D%7B180%5E%7B0%7D%20%7D%20-sin90%5E%7B0%7D%20%29%3D100%2A%28%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D-1%29%3D50%2A%5Cpi%20-100)
Отсюда:
S(y<0)=200·π-(50·π-100)=200·π-50·π+100=150·π+100 кв. единица.
2) y≥0. В силу этого |y| = y. Тогда неравенство имеет вид:
x²+y²+20·(x-y)≤0
x²+2·10·x+100-100+y²-2·10·y+100-100≤0
(x+10)²+(y-10)²≤200
(x+10)²+(y-10)²≤(10·√2)²
Отсюда следует, что эта фигура тоже круг с центром в точке (-10; 10) и радиусом R=10·√2 (R²=200), у которого отделена часть из-за y≥0 в виде сегмента (см. рисунок 2, сегмент ниже оси <em>Ох </em>- жёлтый). Площадь S(y≥0) этой фигуры также определяется как разность площадей круга и сегмента. Поэтому как и выше получаем:
S(y≥0)=150·π+100 кв. единица.
Теперь сложив оба площади находим площадь фигуры, заданной неравенством x²+y²+20·(x-|y|)≤0:
S=S(y<0)+S(y≥0)=150·π+100+150·π+100=300·π+200 кв. единица.
Если положить, что π=3,14, то
S=300·3,14+200 кв. единица= 1142 кв. единица