Question

Скалярное произведение векторов.
а=7
b=5
1.Вершины треугольника A(1; -2a), B(b; -5) и C(0;a+b). Найдите углы треугольника.
Заранее спасибо.

Answer 1

1. Вычисляем координаты вершин, подставляя значения для a и b.
A(1;-14), B(5;-5), C(0;12)
2. Будем искать углы треугольника, как углы между парами векторов, совпадающих со сторонами треугольника. Для этого определим соответствующие векторы. Для векторов я буду использовать подчеркивание вместо надчеркивания (знака вектора) Угол А образован векторами АВ и АС. Определим эти векторы.
AB(5-1;-5+14) ⇒ AB(4,9); AC(0-1;12+14) ⇒ AC(-1;26)
Угол B образован векторами BA и BC. Определим эти векторы.
BA(1-5;-14+5) ⇒ BA(-4;-9) - заметим, что координаты BA получились с обратными знаками по отношению к AB - это пригодится, чтобы меньше вычислять в дальнейшем.
BC(0-5;12+5) ⇒ BC(-5;17)
Угол С образован векторами CA и CB. Определим эти векторы.
CA(1;-26) - ранее AC уже был определен.
CB(5;-17) - ранее BC уже был определен.
3. Косинус угла между векторами u и v определяется по формуле
$\frac{uv}{|u||v|}$
Определяем угол А.
Вычислим скалярное произведение AB×AC = 4×(-1)+9×26 = 230
Вычислим длины этих векторов, получим √(4²+9²)=√97 и √((-1)²+26³)=√677
Тогда cos(A)=230/√(97×677) = 0.898; A=26.1 град
Аналогично найдем BA×BC= (-5)×(-4)-9*17 = -133
Длины векторов составят √((-4)²+(-9)²)=√97 и √((-5)²+17²)=√314
cos(B)=-133/√(97*314) = -0.76; B=139.6 град
Для определения угла С получаем СA×CB = 1×5+(-26)×(-17) = 447
Длины этих векторов совпадают с длинами уже найденных, противоположно направленных векторов и составляют √677 и √314
cos(C)=447/√(677×314) = 0.97; C=14.2 град.

Проверка: найдем сумму всех трех полученных углов:
26.1+139.6+14.2=180.