Question

Решите уравнение, методом разложения на множители: x^4 - 2x^3 - 7x^2 - 4x + 4 =0

Answer 1

Если разложения на множители, то скорее всего нужно разлогать одночлены в сумму нескольких
x⁴-2x³-7x²-4x+4=0

(x⁴+2) -2x(x²+2) -7x²=0

(x⁴+4x²+4-4x²) - 2x(x²+2) - 7x² = 0

(x²+2)²-4x² -2x(x²+2) -7x² = 0

(x²+2)² - 2x(x²+2) -11x² =0 |:x

(x²+2)²÷x - 2(x²+2)÷x - 11 =0

Пусть (x²+2)/x = t, тогда получаем

t²-2t-11=0

$D=4+44=48 \\ t= \frac{2\pm4 \sqrt{3} }{2} =1\pm2 \sqrt{3}$

Возвращаемся к замене
$\frac{x^2+2}{x} =1-2 \sqrt{3}|\times x \\ x^2+(-1+2 \sqrt{3})x+2=0 \\ D=(-1+2 \sqrt{3})-8=5-4 \sqrt{3}$
D<0, значит уравнение корней не имеет

$\frac{x^2 +2}{x}=1+2 \sqrt{3} |\times x \\ x^2-(1+2 \sqrt{3} )x+2=0 \\ D=(1+2 \sqrt{3} )^2-8=5+4 \sqrt{3} \\ \\ x= \dfrac{1+2 \sqrt{3} \pm \sqrt{5+4 \sqrt{3} } }{2}$