![\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B3%5D%7B2%2B%5Csqrt%7B5%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B2-%5Csqrt%7B5%7D%7D)
Возведем в куб:
(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)
______________________________________________________________
![(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})^3=](https://tex.z-dn.net/?f=%28%5Csqrt%5B3%5D%7B2%2B%5Csqrt%7B5%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B2-%5Csqrt%7B5%7D%7D%29%5E3%3D)
![=4+3\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})=](https://tex.z-dn.net/?f=%3D4%2B3%5Csqrt%5B3%5D%7B%282%2B%5Csqrt%7B5%7D%29%282-%5Csqrt%7B5%7D%29%7D%28%5Csqrt%5B3%5D%7B2%2B%5Csqrt%7B5%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B2-%5Csqrt%7B5%7D%7D%29%3D)
![=4+3\sqrt[3]{-1}(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})=4-3(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})](https://tex.z-dn.net/?f=%3D4%2B3%5Csqrt%5B3%5D%7B-1%7D%28%5Csqrt%5B3%5D%7B2%2B%5Csqrt%7B5%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B2-%5Csqrt%7B5%7D%7D%29%3D4-3%28%5Csqrt%5B3%5D%7B2%2B%5Csqrt%7B5%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B2-%5Csqrt%7B5%7D%7D%29)
Для простоты вычислений проведем замену:
![\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=a](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B3%5D%7B2%2B%5Csqrt%7B5%7D%7D%3Da+)
![\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=b](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B3%5D%7B2-%5Csqrt%7B5%7D%7D%3Db)
(a+b)³=4-3(a+b)
Сделаем еще одну замену: a+b=x
Получим следующее уравнение:
x³+3x-4 = 0
<span>Любой целый корень</span><em> уравнения</em><span> с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена</span><em>. Один из корней легко угадывается x=1</em>
<em>Далее можно просто произвести деление столбиком и найти оставшийся многочлен:</em>
<em><span>x³+3x-4 = (x-1)(x²+x+4)</span></em>
<em><span><em>x²+x+4 = 0</em></span></em>
<em>корней на действительном поле не имеет. </em>
<em>В итоге значение выражения равно 1. </em>
-38x+15=-21x-36
-38x+21x=-36-15
-17x=-51
x=-51/(-17)
x=3;
-38*3+15=-114+15=-99.
Ответ:x=3;y=-99.