Перейдём от переменных {x, y, z} к новому набору переменных {u, y, z}, где u = xyz. В новых переменных V задаётся неравенствами 0 ≤ u ≤ 1, y ≥ 1, z ≥ 1.
Якобиан обратного преобразования:
![\dfrac{\partial(u,y,z)}{\partial(x,y,z)}=\dfrac{\partial u}{\partial x}=yz](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7B%5Cpartial%28u%2Cy%2Cz%29%7D%7B%5Cpartial%28x%2Cy%2Cz%29%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Cpartial+u%7D%7B%5Cpartial+x%7D%3Dyz)
Якобиан обратного преобразования положительный на V, поэтому переход к новым переменным точно взаимно-однозначный, якобиан прямого преобразования
![J=\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,y,z)}=\left(\dfrac{\partial(u,y,z)}{\partial(x,y,z)}\right)^{-1}=\dfrac1{yz}](https://tex.z-dn.net/?f=J%3D%5Cdfrac%7B%5Cpartial%28x%2Cy%2Cz%29%7D%7B%5Cpartial%28u%2Cy%2Cz%29%7D%3D%5Cleft%28%5Cdfrac%7B%5Cpartial%28u%2Cy%2Cz%29%7D%7B%5Cpartial%28x%2Cy%2Cz%29%7D%5Cright%29%5E%7B-1%7D%3D%5Cdfrac1%7Byz%7D)
Теперь тройной интеграл легко сводится к повторным:
![\displaystyle\iiint_V e^{xyz}yx^2\,dV=\iiint_V e^u y\cdot\left(\frac{u}{yz}\right)^2 |J|\,du\,dy\,dz=\\=\int_0^1 u^2e^u\,du\int_1^\infty\frac{dy}{y^2}\int_1^\infty\frac{dz}{z^3}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Ciiint_V+e%5E%7Bxyz%7Dyx%5E2%5C%2CdV%3D%5Ciiint_V+e%5Eu+y%5Ccdot%5Cleft%28%5Cfrac%7Bu%7D%7Byz%7D%5Cright%29%5E2+%7CJ%7C%5C%2Cdu%5C%2Cdy%5C%2Cdz%3D%5C%5C%3D%5Cint_0%5E1+u%5E2e%5Eu%5C%2Cdu%5Cint_1%5E%5Cinfty%5Cfrac%7Bdy%7D%7By%5E2%7D%5Cint_1%5E%5Cinfty%5Cfrac%7Bdz%7D%7Bz%5E3%7D)
Второй и третий интегралы табличные, первый берётся по частям:
![\displaystyle\int_0^1u^2e^u\,du=\left.(u^2-2u+2)e^u\right|_0^1=e-2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint_0%5E1u%5E2e%5Eu%5C%2Cdu%3D%5Cleft.%28u%5E2-2u%2B2%29e%5Eu%5Cright%7C_0%5E1%3De-2)
Ответ:
![\dots=(e-2)\cdot 1\cdot\dfrac12=\dfrac {e-2}2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdots%3D%28e-2%29%5Ccdot+1%5Ccdot%5Cdfrac12%3D%5Cdfrac+%7Be-2%7D2)
В принципе, выписывать новые переменные было необязательно, можно было бы проинтегрировать и так, сначала по x (0 ≤ x ≤ 1/yz), затем получатся такие же интегралы по y и z.