3 года назад

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=x^3-3x^2-9x+25 на отрезке [-4;4]

1 ответ:

Eriol [9.1K]3 года назад

0 0

D(f)= R
f'(x)=3x²-6x-9 = 3(x²-2x-3)
Производная существует во всех точках
х²-2х-3 =0
D= 4+12=16
x1= 3
x2= -1
Обе точки входят в наш промежуток [-4:4]
поэтому :
f(-4)= -64 -3*16 +36+25= -63
f(-1) = -1 -3*1 +9 +25 = 30
f(3)= 27 - 3*9 -3*9 +25 = -2
f(4) = 64 - 3*16 -9*4 +25 = 5
$f_{max[-4;4]} = - 1$
$f_{ min[-4;4]} = -4$

Читайте также

Помогите, пожалуйста, с уравнениями. 1) \frac{5^{x+1} - 3^x}{3^{x+2} - 5^x} = 1 2) 3^{2x-1} = 7^{3-x} 3) 4^{2x-6} - 7^{x-3} =

bankaccount

$1)\; \; \frac{5^{x+1}-3^{x}}{3^{x+2}-5^{x}}=1\; \; \to \; \; 5^{x+1}-3^{x}=3^{x+2}-5^{x}\; ,\\\\5^{x+1}+5^{x}=3^{x+2}+3^{x}\; ,\; \; 5^{x}\cdot (5+1)=3^{x}\cdot (3^2+1)\; ,\\\\\frac{5^{x}}{3^{x}}=\frac{10}{6}\; ,\; \; (\frac{5}{3})^{x}=\frac{5}{3}\; \; \to \; \; \underline {x=1}\\\\2)\; \; 3^{2x-1}=7^{3-x}\\\\\frac{3^{2x}}{3}=\frac{7^3}{7^{x}}\; ,\; \; 9^{x}\cdot 7^{x}=7^3\cdot 3\; ,\; \; (9\cdot 7)^{x}=1029\\\\x=log_{63}1029\\\\3)\; \; 4^{2x-6}-7^{x-3}=0\\\\\frac{4^{2x}}{4^6}=\frac{7^{x}}{7^3}\; ,\; \; \frac{16^{x}}{7^{x}}=\frac{4^6}{7^3}\; ,\; \; (\frac{16}{7})^{x}=\frac{4096}{343}\\\\x=log_{\frac{16}{7}}\frac{4096}{343}$

$4)\; \; 2^{5x+6}-7^{5x+2}-2^{5x+3}-7^{5x-1}=0\\\\2^{5x}(2^6-2^3)=7^{5x}(7^2+7^{-1})\\\\(\frac{2}{7})^{5x}=\frac{\frac{344}{7}}{56}\; ,\; \; (\frac{2}{7})^{5x}=\frac{344}{7\cdot 56} \; ,\; \; (\frac{2}{7})^{5x}= \frac{43}{49}\; ,\\\\5x=log_{2/7}\frac{43}{49}\; ,\; \; x=\frac{1}{5}\cdot log_{2/7}\frac{43}{49}$

$5)\; \; 2^{x^2-4x+5}=4x-2-x^2\; \; \Rightarrow \; \; \; x=2$

В левой части равенства показательная функция всегда положительна и возрастающая, т.к. основание 2>1 . В правой части равенства - квадратичная функция, график - парабола, ветви которой направлены вниз, вершина в точке (2,2). То есть при х=2 квадр. ф-ция принимает своё наибольшее значение $4\cdot 2-2-2^2=2$ .
При х=2 показательная функция принимает значение:
$2^{4-8+5}=2^1=2$ , поэтому точка пересечения графиков единственная, х=2.