Question

При каком значении параметра а решениями неравенства относительно х являются все действительные числа

Answer 1

Возьмем функцию
$y= x^{2} -9x+ (a-3)^{2} \geq 0$
Это квадратичная функция, график парабола. Т.к. коэффициент перед $x^{2}$ >0: ветви параболы направлены вверх => чтобы $y \geq 0$, весь график должен лежать выше оси Ох или касаться ее вершиной.
Приравниваем у к 0=>
$x^{2} -9x+ (a-3)^{2}=0; D=81-4(a-3)^{2}=81-4a^{2} +24a-36=$ $81-4a^{2} +24a-36=45-4a^{2} +24a$
Чтоб график лежал выше оси Ох или касался ее вершиной, пересечений с осью х должно быть не более 1 => дискриминант должен быть $\leq 0$=>
$45-4a^{2} +24a \leq 0 => 4a^{2} -24a-45 \geq 0 =>$
a∈ (-∞;-1,5]U[7,5;+∞)
Ответ: a∈ (-∞;-1,5]U[7,5;+∞)