Question

Решите уравнение =sin3x-2sinx

Answer 1

Область допустимых значений уравнения : tgx≠0, х≠πn, n∈Z  и х≠π/2+πk, k∈Z

$\frac{cos3x}{ \frac{sinx}{cosx} } =sin3x-2sinx, \\ cosx\cdot cos3x=sinx\cdot sin3x-2sin^{2}x, \\ cos3x\cdot cosx-sin3x\cdot sinx=-2sin^{2}x, \\ cos(3x+x)=-2sin^{2}x, \\ cos4x+2sin^{2}x=0, \\ (2cos ^{2} 2x-1)+(1-cos2x)=0, \\ 2cos ^{2} 2x-cos2x=0, \\ cos2x\cdot (2cos2x-1)=0$

Произведение равно нулю, когда хотя один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла.
$\left \{ {{cos2x=0} \atop {2cos2x-1=0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{cos2x=0} \atop {cos2x= \frac{1}{2} }}\Rightarrow \left \{ {{2x= \frac{ \pi }{2} + \pi k,k\in Z} \atop {2x=\pm \frac{ \pi }{3}+2 \pi n,n\in Z }} \right. \right. \Rightarrow \left \{ {{x= \frac{ \pi }{4} + \frac{ \pi }{2}k,k\in Z } \atop {x=\pm \frac{ \pi }{6}= \pi n,n\in Z }} \right.$

Ответ. $\frac{ \pi }{4}+ \frac{ \pi }{2} k, \pm \frac{ \pi }{6} + \pi n,k,n\in Z$