Question

Исследовать функцию y=X^3+3x^2 с помощью производной и построить график

Answer 1

ДАНО
Y(x) = x³ + 3*x² = х² *(х+3)
ИССЛЕДОВАНИЕ.

1.Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная. Нет деления на ноль.

2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х = 0 и х = -3. (ставим две точки на оси ОХ)

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 0. (ставим точку на оси ОУ) 

4. Поведение на бесконечности.

limY(-∞) = - ∞  limY(+∞) = +∞  (слева вниз - справа вверх)

5. Исследование на чётность.

Y(-x) = -x³ +3x²  ≠ Y(x).

Функция ни чётная ни нечётная. 

6. Производная функции.Y'(x)= 3*x² + 6*x = 3*x*(x-2). 

Корень при Х1=0 и Х2= 2

Схема знаков производной.

_ (-∞)__(>0)__(х1=0)___(<0)___(x2=2)__(<0)_____(+∞)__

Функция убывает МЕЖДУ корнями.

7. Локальные экстремумы. 

Максимум Ymax(-2)= 4 , минимум – Ymin(0)=0. 

8. Интервалы возрастания и убывания. 

Возрастает - Х∈(-∞;-2)∪(0;+∞) , убывает = Х∈(-2;0). 

8. Вторая производная - Y"(x) = 6*х+6 =6*(x+1)=0. 

Корень производной - точка перегиба Y"(x)= 0. Х= -1

9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞;-1), Вогнутая – «ложка» Х∈(-1;+∞). 

10. Область значений Е(у) У∈(-∞;+∞) 

11. График в приложении.