1.
Чтобы найти cos через sin, воспользуемся следующим свойством:
![{sin}^{2}(x) + {cos}^{2} (x) = 1](https://tex.z-dn.net/?f=%20%7Bsin%7D%5E%7B2%7D%28x%29%20%20%2B%20%20%7Bcos%7D%5E%7B2%7D%20%28x%29%20%3D%201)
Возведем синус в квадрат:
![{ \frac{24}{25} }^{2} = \frac{576}{625}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%7B%20%5Cfrac%7B24%7D%7B25%7D%20%7D%5E%7B2%7D%20%20%3D%20%20%5Cfrac%7B576%7D%7B625%7D%20)
Вычтем из единицы синус:
![1 - \frac{576}{625} = \frac{49}{625}](https://tex.z-dn.net/?f=1%20-%20%20%5Cfrac%7B576%7D%7B625%7D%20%20%3D%20%20%5Cfrac%7B49%7D%7B625%7D%20)
Возьмем квадратный корень из полученного числа и у нас получится косинус:
![\sqrt{ \frac{49}{625} } = + - \frac{7}{25}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B49%7D%7B625%7D%20%7D%20%20%3D%20%20%20%2B%20%20-%20%5Cfrac%7B7%7D%7B25%7D%20)
Обязательно нужно поставить "плюс-минус", так как число может быть как и отрицательным, так и положительным. Для того, чтобы проверить, какой знак у косинуса, посмотрим на условие для альфа:
альфа лежит в промежутке от π/2 до π. Косинус на этом промежутке отрицательны, значит конечный ответ для косинуса:
![- \frac{7}{25}](https://tex.z-dn.net/?f=%20-%20%20%5Cfrac%7B7%7D%7B25%7D%20)
Далее для тангенса и котангенса просто делим косинус и синус друг на друга.
Тангенс:
![\frac{sin( \alpha )}{cos( \alpha )} = \frac{24}{25} \times (- \frac{25}{7} ) = - \frac{24}{7}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bsin%28%20%5Calpha%20%29%7D%7Bcos%28%20%5Calpha%20%29%7D%20%20%3D%20%20%5Cfrac%7B24%7D%7B25%7D%20%20%5Ctimes%20%20%28-%20%20%5Cfrac%7B25%7D%7B7%7D%20%29%20%3D%20%20-%20%20%5Cfrac%7B24%7D%7B7%7D%20)
Котангенс - обратное число к тангенсу:
![- \frac{7}{24}](https://tex.z-dn.net/?f=%20-%20%20%5Cfrac%7B7%7D%7B24%7D%20)
2.
Для того, чтобы найти синус через котангенс, воспользуемся формулой:
![1 + {ctg( \alpha )}^{2} = \frac{1}{ {sin }^{2} ( \alpha )}](https://tex.z-dn.net/?f=1%20%2B%20%20%7Bctg%28%20%5Calpha%20%29%7D%5E%7B2%7D%20%20%3D%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%7Bsin%20%7D%5E%7B2%7D%20%28%20%5Calpha%20%29%7D%20)
Подставим данный котангенс:
![1 + \frac{9}{4} = \frac{1}{ {sin}^{2}( \alpha ) }](https://tex.z-dn.net/?f=1%20%2B%20%20%5Cfrac%7B9%7D%7B4%7D%20%20%3D%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%7Bsin%7D%5E%7B2%7D%28%20%5Calpha%20%29%20%7D%20)
![\frac{13}{4} = \frac{1}{ {sin}^{2} ( \alpha )}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B13%7D%7B4%7D%20%20%3D%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%7Bsin%7D%5E%7B2%7D%20%28%20%5Calpha%20%29%7D%20)
![{sin}^{2} ( \alpha ) = \frac{4}{13}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%7Bsin%7D%5E%7B2%7D%20%28%20%5Calpha%20%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7B4%7D%7B13%7D%20)
![sin( \alpha ) = \sqrt{ \frac{4}{13} } = + - \frac{ 2 \sqrt{13} }{13}](https://tex.z-dn.net/?f=sin%28%20%5Calpha%20%29%20%3D%20%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B4%7D%7B13%7D%20%7D%20%20%3D%20%20%20%2B%20%20-%20%5Cfrac%7B%202%20%5Csqrt%7B13%7D%20%20%7D%7B13%7D%20)
Обязательно пишем здесь "плюс-минус".
Альфа лежит по условию в четвертой четверти, так что для синуса пишем минус. Косинус в этой четверти положительный.
Найдем косинус из ранее использованной формулы:
![{{cos}^{2} ( \alpha )} = 1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%7B%7Bcos%7D%5E%7B2%7D%20%28%20%5Calpha%20%29%7D%20%3D%201%20-%20%20%5Cfrac%7B4%7D%7B13%7D%20%20%3D%20%20%5Cfrac%7B9%7D%7B13%7D%20)
![cos( \alpha ) = \sqrt{ \frac{9}{13} } = \frac{3 \sqrt{13} }{13}](https://tex.z-dn.net/?f=cos%28%20%5Calpha%20%29%20%3D%20%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B9%7D%7B13%7D%20%7D%20%20%3D%20%20%5Cfrac%7B3%20%5Csqrt%7B13%7D%20%7D%7B13%7D%20)
Тангенс - обратная функция от котангенса.
![tg( \alpha ) = - \frac{2}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=tg%28%20%5Calpha%20%29%20%3D%20%20-%20%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20)