Двойные неравенства. 2 способа решения
Двойные неравенства – неравенства, в записи которых используется два знака сравнения.
Например:
5<11<17
−2≤3x+5≤2
2x−5≤3x+7≤8x
Двойное неравенство по своей сути – это система из двух неравенств, записанных в одну строку. Поэтому их всегда можно представить в виде системы.
Например:
−2≤3x+5≤2⇔{−2≤3x+53x+5≤2
2x−5≤3x+7≤8x⇔{2x−5≤3x+73x+7≤8x
Но делать это нужно не всегда.
2 способа решения двойного неравенства
1) Если в крайней левой и крайней правой частях двойного неравенства нет неизвестных, то удобнее оставить его как есть. При этом в процессе решения стремится равносильными преобразованиями привести неравенство к виду [число]
<x<[число]
.
Пример: Решите двойное неравенство:
−2≤3x+5≤2
|−5
Здесь нет неизвестных по краям, поэтому к системе переходить не будем. Вместо этого делаем такие преобразования, чтоб в центре остался голый икс, а по краям - числа.
Для того чтобы «оголить» икс нужно избавиться от пятерки и тройки. Вычтем 5
из всего неравенства.
−7≤3x≤−3
|:3
Теперь нам мешает 3
. Поделим все три части неравенства на 3
.
−
73≤x≤−1
Готово, наш икс «голый». Можно записывать ответ.
Ответ: [−73;−1]
2) Если в крайних частях двойного неравенства есть неизвестные лучше перевести неравенство в систему и решать его как обычную систему неравенств.
Пример: Решите двойное неравенство:
2x−5<3x+7≤8x
В крайней левой и крайней правой частях есть неизвестные –значит переходим к системе.
{2x−5<3x+73x+7≤8x
Решаем обычные линейные неравенства: все, что с иксами переносим в левую сторону, все что без иксов - в правую.
{2x−3x<7+53x−8x≤−7
Приводим подобные слагаемые
{−x<12−5x≤−7
«Оголим» иксы, поделив верхнее неравенство на (−1)
, нижнее на (−5)
. Не забываем при этом перевернуть знаки сравнения, так как мы делим на отрицательное число.
{x>−12x≥75
Отметим на числовой оси оба решения
Решение двойного неравенства на оси
Так как у нас система, то мы ищем значения иксов, которые подойдут обоим неравенствам, т.е. интервал, где есть двойная штриховка: и сверху, и снизу. Его и запишем ответ.
