-----------------------------------------------------------------
(РЕШЕНИЕ)
База индукции
При
![n=1](https://tex.z-dn.net/?f=n%3D1)
утверждение верно.
![1 \leq 2-\frac{1}{1}](https://tex.z-dn.net/?f=1+%5Cleq+2-%5Cfrac%7B1%7D%7B1%7D)
Гипотеза индукции. Пусть утверждение верно при
![n=k](https://tex.z-dn.net/?f=n%3Dk)
т.е. справедливо неравенство
![1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+..+\frac{1}{k^2} \leq 2 - \frac{1}{k}](https://tex.z-dn.net/?f=1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7D%2B..%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%5E2%7D+%5Cleq+2+-+%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D)
Индукционный переход
Докажем что тогда справедливо неравенство при
![n=k+1](https://tex.z-dn.net/?f=n%3Dk%2B1)
т.е. что тогда справедливо неравенство
![1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2} \leq 2 - \frac {1}{k+1}](https://tex.z-dn.net/?f=1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%28k%2B1%29%5E2%7D+%5Cleq+2+-+%5Cfrac+%7B1%7D%7Bk%2B1%7D)
или используя предположение нужно доказать что
![2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2} \leq 2 - \frac{1}{k+1}](https://tex.z-dn.net/?f=2-%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%28k%2B1%29%5E2%7D+%5Cleq+2+-+%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%2B1%7D)
или
![\frac{1}{(k+1)^2}+\frac{1}{k+1} \leq \frac{1}{k}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B%28k%2B1%29%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%2B1%7D+%5Cleq+%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D)
или
что
![\frac{1+k+1}{(k+1)^2 }\leq \frac{1}{k}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%2Bk%2B1%7D%7B%28k%2B1%29%5E2+%7D%5Cleq+%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D)
![\frac{k+2}{(k+1)^2} \leq \frac{1}{k}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bk%2B2%7D%7B%28k%2B1%29%5E2%7D+%5Cleq+%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D)
так как обе части неотрицательны, то равносильно
![(k+2)k \leq (k+1)^2](https://tex.z-dn.net/?f=%28k%2B2%29k+%5Cleq+%28k%2B1%29%5E2)
![k^2+2k \leq k^2+2k+1](https://tex.z-dn.net/?f=k%5E2%2B2k+%5Cleq+k%5E2%2B2k%2B1)
![0 \leq 1](https://tex.z-dn.net/?f=+0+%5Cleq+1)
что очевидно верно
таким образом на основании принципа мат. индукции неравенство доказано.
----------------
(более логичное решение)
неравенство равносильно неравенству
![\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{n^2} \leq 1 - \frac{1}{n}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7D%2B...%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D+%5Cleq+1+-+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D)
заметим что при n є N,
![n \geq 1](https://tex.z-dn.net/?f=n+%5Cgeq+1)
![\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n(n-1)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D+%5Cleq+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%28n-1%29%7D)
поєтому
![\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+...+\frac{1}{n(n-1)}=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7D%2B...%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%0A+%5Cleq+%0A%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2A2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%2A3%7D%2B...%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%28n-1%29%7D%3D)
![\frac{2-1}{1*2}+\frac{3-2}{2*3}+...+\frac{n-(n-1)}{n(n-1)}=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2-1%7D%7B1%2A2%7D%2B%5Cfrac%7B3-2%7D%7B2%2A3%7D%2B...%2B%5Cfrac%7Bn-%28n-1%29%7D%7Bn%28n-1%29%7D%3D)
![\frac{2}{1*2}-\frac{1}{1*2}+\frac{3}{2*3}-\frac{2}{2*3}+...+\frac{n}{n(n-1)}-\frac{n-1}{n(n-1)}=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2%7D%7B1%2A2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2A2%7D%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%2A3%7D-%5Cfrac%7B2%7D%7B2%2A3%7D%2B...%2B%5Cfrac%7Bn%7D%7Bn%28n-1%29%7D-%5Cfrac%7Bn-1%7D%7Bn%28n-1%29%7D%3D)
![1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n}](https://tex.z-dn.net/?f=1-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2B...%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn-1%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%3D1-%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D)
т.е. нужно получили требуемое
-3√0,49+2,6=-3*0,7+2,6=0,5;
(1/8)*√0,64-1=(0,8/8)-1=0,1-1=0,9;
√0,9²-0,3=0,9-0,3=0,6;
**********
x²=36; x₁=6; x₂=-6;
√(3+5x)=6; ОДЗ: 3+5x≥0; x≥-3/5;
3+5x=36;
5x=33;
x=6,6;
<span> (X-12)(x+7)-(x+5)(x-10)=x^2-12x+7x-84-x^2-5x+10x+50=-34</span>
По неравенству Коши
![m+n\geq 2\sqrt{mn}](https://tex.z-dn.net/?f=m%2Bn%5Cgeq%202%5Csqrt%7Bmn%7D)
![mn\leq 625](https://tex.z-dn.net/?f=mn%5Cleq%20625)
При этом равенство достигается наибольшего значения при m = n = 25
Ответ: mn = 625.