<span>Даны координаты вершин пирамиды ABCD:
</span><span>A(6;2;3); B(6;5;6); C(3;6;7); D(4;2;2).
</span><span><span /><span>
</span></span>Найти: 1) |AB|.
Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} = (0; 3; 3).
Длина ребра АВ = √(0² + 3² + 3²) = √18 ≈ 4,242640687.
<span>2) (AB;AC).
</span><span>
Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA} = (-3;
4;
4).
L(AC) = </span>√41 ≈<span> <span>6,403124237.
</span></span>
Скалярное произведение векторов АВ и АС равно:
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 0 · (-3) + 3 · 4 + 3 · 4 = 0 + 12 + 12 = 24.
<span>3) Проекция вектора AB на AC;
</span>Решение:<span><span><span>Пр ba = (</span><span>a · b)/</span></span><span>|b|.</span></span>
Скалярное произведение векторов уже найдено и равно 24.
Найдем модуль вектора:
|b| = √(bx²<span> + by</span>²<span> + bz</span>²) = √((-3)² + 4² + 4²) = √(9 + 16 + 16) = √41.
<span><span>Пр ba = </span>24/</span>√41<span> = <span><span>24√41/</span>41</span> ≈ <span>3,7481703.
</span></span><span>4) площадь грани ABC.
S = (1/2)*|AB|*|AC|*sin</span>α = (1/2)*|AB|*|AC|*√(1 - cos²α)
.
<span>Найдем угол между ребрами AB(0;3;3) и AC(-3;4;4):
</span>cos α = (0*(-3)+3*4+3*4)/(√18*√41) = 24/√738 = 4√82/41 ≈ <span><span>0,883452.
sin </span></span>α = √(1 - <span>
0,883452</span>²) = <span><span>0,468521.
S(ABC) = (1/2)*</span></span>√18*√41*0,468521 = <span><span>6,363961.
</span></span><span>5) уравнение грани ABC.
</span>
<span>Если точки A1(x1; y1;
z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3;
y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них
плоскость представляется уравнением:</span>
<span><span><span><span><span><span><span><span><span><span><span><span>x-x1 </span>y-y1 z-z1</span></span><span><span><span>x2-x1 </span>y2-y1 z2-z1</span></span><span><span><span>x3-x1 </span>y3-y1 z3-z1 = 0.</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>
<span>
Уравнение плоскости ABC</span>
<span><span><span><span><span><span><span><span><span><span>
x-6 y-2 z-3</span></span><span><span>
0 3 3</span></span><span><span>
-3 4 4 = 0.</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span><span>(x-6)(3*4-4*3) - (y-2)(0*4-(-3)*3) +
(z-3)(0*4-(-3)*3) = - 9y + 9z-9 = 0.
Упростим выражение: - y + z - 1 = 0.
</span><span>6) уравнение ребра AD.
</span>Уравнение прямой AD(-2,0,-1)
AD: (x - 6)/(-2) = (y - 2)/0 = (z - 3)/(-1).
Параметрическое уравнение прямой:
x=6-2t
y=2+0t
<span>z=3-t.
</span><span>
7) угол между ребром AD и гранью ABC.
</span>Синус угла γ между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:
sin γ = |Al+Bm+Cn|/(√A²+B²+C²)*√(l²+m²+n²).
Уравнение плоскости ABC: - y + z-1 = 0
Уравнение прямой AD получено выше.
sin γ = |0*(-2)+(-1)*0+1*(-1)|/(√0²+1²+1²)*√(2²+0²+1²) = 1/(√2*√5) =
= 1/√10 ≈ <span><span>0,316228.
</span></span>γ = arc sin <span>
0,316228 = </span><span><span><span>
0,321751 радиан =
</span>
18,43495</span></span>°.<span>
</span><span>
8) смешанное произведение (AB, AC, AD) и V - объём пирамиды ABCD.
</span><span><span /><span><span>
Произведение векторов
</span><span><span>a × b =
{aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}</span> .
</span></span></span>Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:
<span><span><span> |X1 </span><span>Y1 </span><span>Z1|
</span></span><span><span> V = (1/6) |X2 </span><span>Y2 </span><span>Z2|
</span></span><span><span> |X3 </span><span>Y3 </span><span>Z3|
</span></span></span>
<span><span> | 0 3 3|
</span> </span>V = (1/6)<span><span> |-3 4 4| = 9/6 = 1,5.
</span><span> |-2 0 -1| </span></span>
где определитель матрицы равен:
∆ = 0*(4*(-1)-0*4)-(-3)*(3*(-1)-0*3)+(-2)*(3*4-4*3) = -9.
<span>
9) уравнение высоты,опущенной из вершины D на грань ABC и
ее длину.
</span>Для вычисления расстояния от точки M(4, 2, 2) до плоскости<span> - y +z -1 = 0 используем формулу:</span>
d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A² + B² + C²)
Подставим в формулу данныеd = |0·4 + (-1)·2 + 1·2 + (-1)|/√((0² + (-1)² + 1²) =
= |0 - 2 + 2 - 1| /√(0² + (-1)² + 1²) = 1/√2 ≈ <span>0.70710678.
</span>
10) уравнение плоскости, проходящей через точку D <span>параллельно грани ABC.
</span>Плоскость, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и параллельная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением:
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
Уравнение плоскости ABC: - y + z-1 = 0
0(x-4)-1(y-2)+1(z-2) = 0
или
<span>0x-y+z+0 = 0.</span>
