Да, надо интегрировать, только отдельно по проекциям. Координату искать не надо, надо искать скорость, для этого однократно проинтегрируем ускорение по времени. Плюс мне не нравится постоянная a, так как a - это обозначение ускорения, пусть постоянная будет b. Введем Ox вдоль конденсатора, Oy поперек. Тогда проекция скорости будет меняться только вдоль Oy.
![\displaystyle v_y(t) = v_y(0) + \int\limits_0^t a_y(t')dt' = \frac{1}{m}\int\limits_0^t eE(t')dt'= \frac{eb}{m}\int\limits_0^t t'dt' = ebt^2/2m](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%0Av_y%28t%29+%3D+v_y%280%29+%2B+%5Cint%5Climits_0%5Et+a_y%28t%27%29dt%27+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D%5Cint%5Climits_0%5Et+eE%28t%27%29dt%27%3D+%5Cfrac%7Beb%7D%7Bm%7D%5Cint%5Climits_0%5Et+t%27dt%27+%3D+ebt%5E2%2F2m+)
Время пролета через кондер
![t_1 = L/v_x = L/\sqrt{2eU/m}](https://tex.z-dn.net/?f=t_1+%3D+L%2Fv_x+%3D+L%2F%5Csqrt%7B2eU%2Fm%7D)
Отсюда
![\displaystyle v_y(t_1) = \frac{eb}{2m} \frac{mL^2}{2eU} = \frac{bL^2}{4U}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%0Av_y%28t_1%29+%3D+%5Cfrac%7Beb%7D%7B2m%7D+%5Cfrac%7BmL%5E2%7D%7B2eU%7D+%3D+%5Cfrac%7BbL%5E2%7D%7B4U%7D)
И окончательно
![\displaystyle \tan\alpha = v_y(t_1)/v_x = \frac{bL^2\sqrt{m}}{4U\sqrt{2eU}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%0A%5Ctan%5Calpha+%3D+v_y%28t_1%29%2Fv_x+%3D+%5Cfrac%7BbL%5E2%5Csqrt%7Bm%7D%7D%7B4U%5Csqrt%7B2eU%7D%7D)